Considere a matriz:
A=[ccc 1 & -1 & 4 -2 & 1 & 3 ]
Determine a transformação linear T: R^3 R^2 cuja matriz é A nas bases beta=(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1) de R^3 e beta^prime=(1,2),(0,-1) de R^2

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^2 cuja matriz nas bases
beta=(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1) de R^3 e
beta'=(1,2),(0,-1) de R^2 é
A = 1 & -1 & 4 [6pt] -2 & 1 & 3
Sabendo que a coluna j de A são as coordenadas de T(bj) em beta', vamos primeiro calcular essas imagens em coordenadas canônicas.]

Passo 2

Da definição de matriz de transformação em bases não-canônicas:
[;T(b1);]beta' = 1-2, [;T(b2);]beta' = -11, [;T(b3);]beta' = 43

Passo 3

Convertendo cada imagem para coordenadas canônicas usando
b'1=(1,2) e b'2=(0,-1):
T(b1) = 1,(1,2) + (-2),(0,-1) = (1,2)+(0,2) = (1,4),
T(b2) = -1,(1,2) + 1,(0,-1) = (-1,-2)+(0,-1) = (-1,-3),
T(b3) = 4,(1,2) + 3,(0,-1) = (4,8)+(0,-3) = (4,5)

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z) nas coordenadas canônicas, escrevemo-lo na base beta:
(x,y,z) = u,(1,1,0) + v,(1,0,1) + w,(0,0,1)
Do sistema
u+v = x, u = y, v+w = z,
segue
u = y, v = x - y, w = z - (x - y) = z - x + y

Passo 5

Pela linearidade,
T(x,y,z) = u,T(b1) + v,T(b2) + w,T(b3)
Substituindo u=y, v=x-y, w=z-x+y e os vetores de T(bj),
T(x,y,z) = y,(1,4) + (x-y),(-1,-3) + (z-x+y),(4,5)
Calculando coordenada a coordenada chega-se a
T(x,y,z) = l(-5x + 6y + 4z,;-8x + 12y + 5zr)

Resposta

A transformação linear T em coordenadas canônicas é
T(x,y,z) = l(-5x + 6y + 4z,;-8x + 12y + 5zr)

Exercícios relacionados