Seja
A=[rrrr 1 & 0 & a & 1 0 & 1 & -a & 3 0 & 2 & 1 & 0 1 & -1 & 0 & 0 ]
Para que valores de a o sistema A X=0 tem solução não trivial? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & a & 1 0 & 1 & -a & 3 0 & 2 & 1 & 0 1 & -1 & 0 & 0
e pergunta para quais valores de a o sistema homogêneo A X=0 admite solução não trivial. O conteúdo aqui é o critério de existência de solução não trivial: um sistema homogêneo quadridimensional tem solução não trivial se e somente se det(A)=0.

Passo 2

Para calcular det(A), vamos primeiro usar uma operação elementar simples para criar zeros na primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da quarta:
R4 R4 - R1
Isso não altera o determinante. A matriz fica
1 & 0 & a & 1 0 & 1 & -a & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -a & -1

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira coluna (apenas o primeiro elemento é não nulo):
det(A) =1cdot det 1 & -a & 3 2 & 1 & 0 -1 & -a & -1

Passo 4

Chamemos de B o menor de ordem 3 acima. Calculamos
det(B) =1cdot1&0-a&-1 -(-a)cdot2&0-1&-1 +3cdot2&1-1&-a
Cada um desses determinantes 2times 2 vale:
1&0-a&-1 =1cdot(-1)-0cdot(-a)=-1,
2&0-1&-1 =2cdot(-1)-0cdot(-1)=-2,
2&1-1&-a =2cdot(-a)-1cdot(-1)=-2a+1
Portanto
det(B) =1cdot(-1)-(-a)cdot(-2)+3cdot(-2a+1) =-1-2a-6a+3 =2-8a
Logo det(A)=2-8a.

Passo 5

Para haver solução não trivial precisamos de det(A)=0, ou seja
2-8a=0 Longrightarrow a=tfrac14

Resposta

O sistema A X=0 tem solução não trivial exatamente para
a=tfrac14

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