Seja
A=[rrrr 1 & 0 & a & 1 0 & 1 & -a & 3 0 & 2 & 1 & 0 1 & -1 & 0 & 0 ]
Calcule o determinante de A.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz A de ordem 4. O conteúdo aqui é a definição de determinante e a técnica de expansão de Laplace (cofatores). Para resolver, vamos aplicar a expansão ao longo da primeira coluna, de modo a aproveitar que muitos elementos dessa coluna são zero.

Passo 2

Pela expansão de Laplace ao longo da coluna 1, temos
det(A) =sumi=1^4(-1)^i+1,ai1,Mi1,
onde ai1 é o elemento da linha i, coluna 1, e Mi1 é o determinante do menor obtido ao retirar a linha i e a coluna 1. Na matriz dada, só a11=1 e a41=1 são não nulos.

Passo 3

Calculamos o menor M11 (eliminando linha 1 e coluna 1):
M11 = 1 & -a & 3 2 & 1 & 0 -1& 0 & 0
Expandindo por cofactor na primeira linha:
M11 =1cdot1&00&0 -(-a)cdot2&0-1&0 +3cdot2&1-1&0 =0+0+3cdot1=3

Passo 4

Calculamos o menor M41 (eliminando linha 4 e coluna 1):
M41 = 0 & a & 1 1 & -a & 3 2 & 1 & 0
Expandindo por cofactor na primeira linha:
M41 =0 -,acdot1&32&0 +1cdot1&-a2&1 = -a(1cdot0-2cdot3)+(1cdot1-2(-a)) =6a+(1+2a)=8a+1

Passo 5

Juntando as contribuições, como o cofactor de a41 carrega sinal (-1)^4+1=-1, temos
det(A) =1cdot M11-1cdot M41 =3-(8a+1) =2-8a

Resposta

det(A)=2-8a.

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