Sejam ^r1 a reta que passa pelo ponto P1(1,1,2) e é paralela ao vetor v=(1,1,0) e r2 a reta de intersecção dos planos pi1: x+2 y+z=4 e pi2: x+z=2
Determine a única reta r que intersecta r1 e r2 perpendicularmente.

Passo 1

Estamos em geometria no espaço R^3. Temos duas retas:
  • r1 passa por P1=(1,1,2) e tem direção v=(1,1,0).
  • r2 é a intersecção dos planos
pi1: x+2y+z=4, pi2: x+z=2
Queremos a reta r que intersecciona r1 e r2 e é perpendicular a ambas (isto é, a comum perpendicular).

Passo 2

Encontre a direção de r2 como o produto vetorial dos normais dos planos.
Os normais são
;n1=(1,2,1) para pi1 e
;n2=(1,0,1) para pi2.
Então
u ;=; n1times n2 ;=; i & j & k 1 & 2 & 1 1 & 0 & 1 ;=;(2cdot1-1cdot0,;-(1cdot1-1cdot1),;1cdot0-2cdot1) ;=;(2,0,-2)
Podemos simplificar e tomar u=(1,0,-1) como direção de r2.

Passo 3

Obtenha uma equação paramétrica de cada reta.
Para r1:
r1(s) = (1,1,2) + s,(1,1,0) = (1+s,;1+s,;2)
Para r2, resolvemos
,x+z=2implies z=2-x
em ,x+2y+z=4implies x+2y+(2-x)=4implies 2y=2implies y=1
Logo
r2(t) = (t,,1,,2-t)

Passo 4

A direção da comum perpendicular é ortogonal a ambas direções v e u, então
d = v times u = (1,1,0)times(1,0,-1) = (-1,1,-1)
Para simplificar, podemos usar d=(1,-1,1).

Passo 5

Chamemos A=r1(s)=(1+s,1+s,2) e B=r2(t)=(t,1,2-t).
Queremos B-A paralelo a d, portanto
B - A = (t-1-s,;1-(1+s),;(2-t)-2) = (t-1-s,;-s,;-t) ;=;lambda,(1,-1,1)
Isto gera o sistema
t-1-s=lambda, -s=-lambda, -t=lambda
Da segunda equação vem lambda=s. Da terceira vem t=-s. Substituindo na primeira:
(-s)-1-s = s ;Longrightarrow;-2s-1=s ;Longrightarrow;-3s=1 ;Longrightarrow;s=-tfrac13, t=-s=tfrac13
Então
A = r1!l(-tfrac13r) = l(1-tfrac13,;1-tfrac13,;2r) = l(tfrac23,tfrac23,2r)

Passo 6

A reta r passa por A=(tfrac23,tfrac23,2) com direção d=(1,-1,1).
Logo uma forma paramétrica é
r(mu) = l(tfrac23,tfrac23,2r) + mu,(1,-1,1) = l(tfrac23+mu,;tfrac23-mu,;2+mur)
Em forma simétrica:
x-tfrac231 =y-tfrac23-1 =z-21

Resposta

r:;(x,y,z) = l(tfrac23+mu,;tfrac23-mu,;2+mur), muinR,
ou equivalentemente
x-tfrac231=y-tfrac23-1=z-21

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