Sejam a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor e a reta de intersecção dos planos e
Determine a única reta que intersecta e perpendicularmente.
Passo 1
Estamos em geometria no espaço . Temos duas retas:
passa por e tem direção .
é a intersecção dos planos
Queremos a reta que intersecciona e e é perpendicular a ambas (isto é, a comum perpendicular).
Passo 2
Encontre a direção de como o produto vetorial dos normais dos planos.
Os normais são para e para .
Então
Podemos simplificar e tomar u=(1,0,-1) como direção de r2.
Passo 3
Obtenha uma equação paramétrica de cada reta.
Para r1:
r1(s) = (1,1,2) + s,(1,1,0) = (1+s,;1+s,;2)
Para r2, resolvemos ,x+z=2implies z=2-x
em ,x+2y+z=4implies x+2y+(2-x)=4implies 2y=2implies y=1
Logo
r2(t) = (t,,1,,2-t)
Passo 4
A direção da comum perpendicular é ortogonal a ambas direções v e u, então
d = v times u = (1,1,0)times(1,0,-1) = (-1,1,-1)
Para simplificar, podemos usar d=(1,-1,1).
Passo 5
Chamemos A=r1(s)=(1+s,1+s,2) e B=r2(t)=(t,1,2-t).
Queremos B-A paralelo a d, portanto
B - A = (t-1-s,;1-(1+s),;(2-t)-2) = (t-1-s,;-s,;-t) ;=;lambda,(1,-1,1)
Isto gera o sistema
t-1-s=lambda, -s=-lambda, -t=lambda
Da segunda equação vem lambda=s. Da terceira vem t=-s. Substituindo na primeira:
(-s)-1-s = s ;Longrightarrow;-2s-1=s ;Longrightarrow;-3s=1 ;Longrightarrow;s=-tfrac13, t=-s=tfrac13
Então
A = r1!l(-tfrac13r) = l(1-tfrac13,;1-tfrac13,;2r) = l(tfrac23,tfrac23,2r)
Passo 6
A reta r passa por A=(tfrac23,tfrac23,2) com direção d=(1,-1,1).
Logo uma forma paramétrica é