Considere a reta r:(x, y, z)=t(1,1,1). Sejam B=E1, E2, E3 a base canônica do R^3 e C=U1, U2, U3 a base ortonormal de R^3 definida por U1=1 / raiz3(1,1,1), U2=1 / raiz2(-1,1,0) e U3=1 / raiz6(-1,-1,2).
Seja Rr: R^3 R^3 a reflexão em relação à reta r. Encontre [Rr]C^C e[Rr]B^B.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da reflexão Rr em relação à reta
r:,(x,y,z)=t(1,1,1)
em duas bases: a base ortonormal C=U1,U2,U3 e a base canônica B=E1,E2,E3. Como C é ortonormal e U1 aponta na direção da reta, vamos usar a decomposição de um vetor em componentes paralela e ortogonal a U1.Para a base canônica, usaremos a fórmula de reflexão R=2,u,u^T-I com u unitário na direção de (1,1,1).

Passo 2

Na base ortonormal C, todo vetor v escreve-se
v=alpha1U1+alpha2U2+alpha3U3
A reflexão em relação à reta ao longo de U1 deixa alpha1 igual e troca o sinal de alpha2 e alpha3. Logo, em C a matriz é diagonal com entradas
1,,-1,,-1

Passo 3

Na base canônica, seja
u=1raiz3111,
vetor unitário na direção de r. A projeção ortogonal é Pi=u,u^T e a reflexão é
R=2,Pi-I =2,u,u^T-I

Passo 4

Calculando
u,u^T =13 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ,
temos
R =2cdot13 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 - 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -tfrac13 & tfrac23 & tfrac23 tfrac23 & -tfrac13 & tfrac23 tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13

Resposta

[Rr]C^C = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
[Rr]B^B = -tfrac13 & tfrac23 & tfrac23 tfrac23 & -tfrac13 & tfrac23 tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13

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