Considere a reta . Sejam a base canônica do e a base ortonormal de definida por e .
Seja a reflexão em relação à reta . Encontre .
Passo 1
O enunciado pede a matriz da reflexão em relação à reta
em duas bases: a base ortonormal e a base canônica . Como é ortonormal e aponta na direção da reta, vamos usar a decomposição de um vetor em componentes paralela e ortogonal a .Para a base canônica, usaremos a fórmula de reflexão com unitário na direção de .
Passo 2
Na base ortonormal , todo vetor escreve-se
A reflexão em relação à reta ao longo de deixa igual e troca o sinal de e . Logo, em a matriz é diagonal com entradas
Passo 3
Na base canônica, seja
vetor unitário na direção de r. A projeção ortogonal é Pi=u,u^T e a reflexão é