Considere a reta r:(x, y, z)=t(1,1,0). Sejam B=E1, E2, E3 a base canônica do R^3 e C=U1, U2, U3 a base ortonormal de R^3 definida por U1=1 / raiz2(1,1,0), U2=(0,0,1) e U3=1 / raiz2(1,-1,0). Seja Rpi / 2, r: R^3 R^3 a transformação linear, que é uma rotação de um ângulo de pi / 2 em torno da reta r. Determine [Rpi / 2, r]C^C e[Rpi / 2, r]B^B.

Passo 1

O problema pede a matriz da rotação de ângulo pi/2 em torno da reta r de direção (1,1,0). Temos duas bases: a canônica B=E1,E2,E3 e a ortonormal
C=U1,U2,U3 com
U1=tfrac1raiz2(1,1,0), U2=(0,0,1), U3=tfrac1raiz2(1,-1,0)
Primeiro achamos a matriz em C; depois passamos para B.

Passo 2

Como C é ortonormal e U1 é o eixo da rotação, em coordenadas C a rotação deixa U1 fixo e gira o plano spanU2,U3 de ângulo pi/2. Logo
[R] C^ C = 1 & 0 & 0 0 & cos(tfracpi2)& -sin(tfracpi2) 0 & sin(tfracpi2)& cos(tfracpi2) = 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0

Passo 3

Para achar [R] B^ B usamos a fórmula de Rodrigues. Seja
n = U1 = l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r),
vetor unitário ao longo do eixo. Para theta=pi/2 temos
R = Icostheta + (1-costheta),n n^T + sintheta,[n]times = n n^T + [n]times,
onde
n n^T = 12 1&1&01&1&00&0&0 , [n]times = 0 & -n3 & n2 n3 & 0 & -n1 -n2 & n1 & 0 = 0 & 0 & tfrac1raiz2 0 & 0 & -tfrac1raiz2 -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0

Passo 4

Somando os termos obtemos
[R] B^ B = n n^T + [n]times = tfrac12 & tfrac12 & 0 tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 0 + 0 & 0 & tfrac1raiz2 0 & 0 & -tfrac1raiz2 -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0 = tfrac12 & tfrac12 & tfrac1raiz2 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac1raiz2 -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0

Resposta

[R] C^ C = 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , [R] B^ B = tfrac12 & tfrac12 & tfrac1raiz2 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac1raiz2 -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0

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