Considere a matriz
A=[rrr 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ]
Determine os valores de lambda in R de modo que o sistema linear (lambda I3-A) X=O tenha uma solução distinta da solução trivial.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz AinR^3times3 e pede os valores de lambdainR tais que o sistema (lambda I3 - A)X = O tenha solução não trivial. O conteúdo necessário é o conceito de valor próprio: existe solução não trivial se e somente se lambda I3 - A for singular, isto é, se seu determinante for zero. Portanto, vamos encontrar o polinômio característico de A.

Passo 2

Escrevemos a matriz lambda I3 - A:
lambda I3 - A = lambda - 1 & -4 & 0 1 & lambda - 1 & 4 0 & 2 & lambda - 1

Passo 3

Calculamos o determinante de lambda I3 - A expandindo pela primeira linha:
det(lambda I3 - A) = (lambda-1)detlambda-1 & 4 2 & lambda-1 -(-4)det1 & 4 0 & lambda-1
Dentro dos menores temos
detlambda-1 & 4 2 & lambda-1 = (lambda-1)^2 - 8, det1 & 4 0 & lambda-1 = lambda-1
Logo,
det(lambda I3 - A) = (lambda-1)l((lambda-1)^2 - 8r) + 4(lambda-1)

Passo 4

Fatoramos o polinômio acima:
det(lambda I3 - A) = (lambda-1)l((lambda-1)^2 -8 + 4r) = (lambda-1)l((lambda-1)^2 - 4r) = (lambda-1)(lambda-3)(lambda+1)
As raízes reais são lambda = 1, lambda = 3 e lambda = -1.

Resposta

lambda = -1,,1,,3.

Exercícios relacionados