Considere os vetores v1=(-1,2,3), v2=(2,-1,1), v3=(4,1,9).
Escreva, se possível, o vetor w=(1,1,4) como combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec w=(1,1,4) como combinação linear de vec v1=(-1,2,3), vec v2=(2,-1,1) e vec v3=(4,1,9). Isso equivale a encontrar escalares x,y,z tais que
xvec v1+yvec v2+zvec v3=vec w
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas lineares para combinações lineares.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
-x + 2y + 4z = 1, 2x - y + z = 1, 3x + y + 9z = 4

Passo 3

Da segunda equação isolamos y:
2x - y + z = 1 Longrightarrow y = 2x + z -1

Passo 4

Substituímos essa expressão de y na primeira equação para eliminar y:
-,x + 2(2x+z-1) +4z = 1 Longrightarrow -,x +4x +2z -2 +4z = 1 Longrightarrow 3x +6z = 3 Longrightarrow x = 1 - 2z

Passo 5

Usando x=1-2z em y=2x+z-1, obtemos
y = 2(1-2z) + z -1 = 1 - 3z
Agora verificamos a terceira equação:
3x + y +9z =3(1-2z)+(1-3z)+9z =3 -6z +1 -3z +9z =4,
ou seja, é identidade. Logo o sistema é compatível indeterminado, com parâmetro livre z.

Passo 6

Para dar uma solução concreta, escolhemos z=0. Então
x = 1, y = 1, z = 0
Isto produz
vec w = 1cdot vec v1 + 1cdot vec v2 + 0cdot vec v3 =vec v1 + vec v2 =(-1+2,;2-1,;3+1)=(1,1,4)

Resposta

vec w = vec v1 + vec v2

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