Determine as condições que os números reais a, b e c devem satisfazer para que o sistema linear (1), nas variáveis x e y, tenha solução.
r x+2 y=a -3 x+4 y=b 2 x-y=c

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em duas incógnitas x,y com três equações,
x+2y = a, -3x+4y = b, 2x-y = c
O conteúdo aqui é a compatibilidade de um sistema sobredeterminado: para existir solução, a terceira equação deve ser uma combinação linear das duas primeiras.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha e beta tais que a combinação
alpha,(x+2y);+;beta,(-3x+4y)
produza exatamente 2x - y, ou seja a parte esquerda da terceira equação.

Passo 3

Expandindo essa combinação temos
alpha,(x+2y)+beta,(-3x+4y) =(alpha-3beta),x+(2alpha+4beta),y
e queremos igualar a
2x-y
Isso gera o sistema para alpha,beta:
alpha - 3beta = 2, 2alpha + 4beta = -1

Passo 4

Resolvendo
alpha -3beta=2 e 2alpha+4beta=-1 obtemos
beta = -tfrac12, alpha = tfrac12

Passo 5

Para que o mesmo tfrac12 e -tfrac12 combinem os termos do lado direito, precisamos
tfrac12,a + l(-tfrac12r),b ;=;c Longrightarrow a-b2=c Longrightarrow a - b = 2c

Resposta

A condição necessária e suficiente para o sistema ter solução é
a - b = 2c

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