Dizemos que um operador linear T: R^n R^n é nilpotente se existir algum inteiro positivo tal que T^n=0, onde T^2=T circ T, T^3=T circ T^2, cdots, T^n=T circ T^n-1. Verifique se os operadores abaixo são nilpotentes:
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (0,0)
é nilpotente, ou seja, se existe algum inteiro positivo m tal que T^m = 0, onde T^m é a composição de T consigo mesmo m vezes.

Passo 2

Note que T envia qualquer vetor (x,y) em R^2 para o vetor nulo (0,0). Portanto, já na primeira aplicação temos
T(x,y) = (0,0),
ou seja, T é o operador zero. Logo,
T^1 = T = 0
como operador. E, consequentemente, para todo k>=1,
T^k = T^k-1circ T = 0circ T = 0

Resposta

Sim, T é nilpotente. Seu índice de nilpotência é 1, pois já T^1 = 0.

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