Dizemos que um operador linear
é nilpotente se existir algum inteiro positivo tal que
, onde
. Verifique se os operadores abaixo são nilpotentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é nilpotente, ou seja, se existe algum inteiro positivo
tal que
, onde
é a composição de
consigo mesmo
vezes.
Passo 2
Note que
envia qualquer vetor
em
para o vetor nulo
. Portanto, já na primeira aplicação temos
ou seja,
é o operador zero. Logo,
como operador. E, consequentemente, para todo
,
Resposta
Sim,
é nilpotente. Seu índice de nilpotência é
, pois já
.