Seja M=(rrr-3 & 0 & 0 0 & 0 & -3 0 & -6 & 3)
Determine os autovalores de M.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de
M = -3 & 0 & 0 0 & 0 & -3 0 & -6 & 3
O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico det(M - lambda I)=0 e a resolução da equação em lambda.

Passo 2

Observe que
M - lambda I = -3-lambda & 0 & 0 0 & -lambda & -3 0 & -6 & 3-lambda
Como a primeira linha e coluna estão “desconectadas” do restante, o determinante se fatora em
det(M-lambda I) = (-3-lambda), det! -lambda & -3 -6 & 3-lambda

Passo 3

Calcule o determinante do bloco 2times2:
det! -lambda & -3 -6 & 3-lambda = (-lambda)(3-lambda) -(-3)(-6) = -lambda(3-lambda) -18
Desenvolvendo,
-lambda(3-lambda)-18 = -3lambda + lambda^2 -18 = lambda^2 -3lambda -18

Passo 4

O polinômio característico é
(-3-lambda),(lambda^2 -3lambda -18)=0
De -3-lambda=0 vem lambda=-3.
Da equação quadrática
lambda^2 -3lambda -18=0
usamos fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 +722 = 3 pm 92,
que dá lambda=6 e lambda=-3.

Passo 5

Concluímos que os autovalores de M são
lambda1 = 6, lambda2 = -3, lambda3 = -3,
isto é, -3 com multiplicidade 2 e 6 com multiplicidade 1.

Resposta

Os autovalores de M são -3 (multiplicidade 2) e 6.

Exercícios relacionados