Considere a matriz
A=(ccc 5 & 4 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 3 )
(2) A é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A= 5 & 4 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 3
e pergunta se A é diagonalizável. O conteúdo envolve autovalores, multiplicidade algébrica e geométrica, e o critério de diagonalização baseado na existência de uma base de autovetores.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Como A é triangular, temos
det(A - lambda I) =(5-lambda)(1-lambda)(3-lambda)

Passo 3

Dos fatores do polinômio característico, obtemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1=5, lambda2=1, lambda3=3,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Para cada autovalor lambdai de multiplicidade algébrica 1, a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é no mínimo 1. Logo, em cada caso a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, e temos três autovetores linearmente independentes.

Resposta

Sim. A é diagonalizável porque possui três autovalores distintos, cada um de multiplicidade algébrica 1, o que garante a existência de uma base composta por autovetores de A.

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