Encontre uma matriz A não nula tal que A^2=O, onde O é a matriz nula. Mostre que 0 é o único autovalor de A e determine os autovetores correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz Aneq O satisfazendo
A^2 = O,
mostrar que o único autovalor de A é 0 e encontrar os autovetores associados.
O conteúdo aqui é teoria de matrizes nilpotentes (índice 2) e cálculo de autovalores/autovetores via polinômio característico e solução de (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Escolhemos a matriz 2times 2
A = 0 & 1 [6pt] 0 & 0
Calculamos
A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0cdot 0 + 1cdot 0 & 0cdot 1 + 1cdot 0 [4pt] 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = O
Logo A^2=O e Aneq O.]

Passo 3

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det!-lambda & 1 [4pt] 0 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - 0 cdot 1 = lambda^2
As raízes são lambda=0 com multiplicidade 2. Portanto o único autovalor é 0.]

Passo 4

Agora encontramos os autovetores resolvendo
(A - 0 cdot I)v = Av = 0
Se v=(x,y)^T, temos
Av = 0 & 1 [4pt] 0 & 0 x y = y 0 = 0 0 Longrightarrow y=0
Logo os autovetores são todos os vetores da forma
l(x,0r)^T com x neq 0, ou seja, o subespaço gerado por 1 0.]

Resposta

A matriz de exemplo é
A = 0 & 1 0 & 0,
seu único autovalor é lambda=0 e os autovetores associados são os múltiplos de
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