Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear cuja matriz em relação à base canônica é
A=(ccc 2 & 0 & 0 0 & 3 & 4 0 & 0 & 3 )
Determine se A é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma base de R^3 formada por autovetores de A.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A= 2 & 0 & 0 0 & 3 & 4 0 & 0 & 3
O objetivo é verificar se A é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de R^3 formada por autovetores de A. Para isso vamos achar os autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar.

Passo 2

Primeiro calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Como A é triangular superior,
chiA(lambda) =det 2-lambda & 0 & 0 0 & 3-lambda & 4 0 & 0 & 3-lambda =(2-lambda),(3-lambda),(3-lambda)

Passo 3

Dos fatores do polinômio característico vemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1=2(mu< alg 1), lambda2=3(mu< alg 2)

Passo 4

Agora achamos as dimensões dos autespaços ker(A-lambda I).
Para lambda=2:
A-2I= 0 & 0 & 0 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1
As equações são
0=0, y+4z=0, z=0,
logo z=0, y=0 e x fica livre. O autespaço é gerado por (1,0,0) e tem dimensão geométrica 1, igual à multiplicidade algébrica de 2.
Para lambda=3:
A-3I= -1 & 0 & 0 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0
As equações são
-x=0, 4z=0,
logo x=0, z=0 e y fica livre. O autespaço é gerado por (0,1,0) e tem dimensão geométrica 1, mas a multiplicidade algébrica de 3 é 2.

Passo 5

Para A ser diagonalizável precisamos que, para cada autovalor, a dimensão do autespaço (multiplicidade geométrica) seja igual à multiplicidade algébrica. Aqui, para lambda=3 temos multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1. Como não coincidem, A não é diagonalizável em R^3.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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