Seja T: V V uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita V tal que T^2=T.
(2) T é diagonalizável? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é linear em um espaço vetorial de dimensão finita e satisfaz
T^2 = T
Queremos saber se T é diagonalizável. Para isso vamos usar o conceito de autovalores, o polinômio minimal de T e o teorema que afirma: “um operador é diagonalizável se e somente se o seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos”.

Passo 2

Se vneq0 é vetor próprio de T associado ao autovalor lambda, então
T^2v = T,v Longrightarrow lambda^2v = lambda v Longrightarrow (lambda^2-lambda),v=0 Longrightarrow lambda(lambda-1)=0
Logo os únicos autovalores possíveis são
lambda=0 ou lambda=1

Passo 3

O polinômio característico e o polinômio minimal de T dividem
x(x-1),
cuja fatoração tem raízes distintas ( 0 e 1 são diferentes no campo qualquer). Portanto o polinômio minimal não tem raízes repetidas.

Passo 4

Pelo teorema do polinômio minimal, como ele se decompõe em fatores lineares distintos, é diagonalizável. Alternativamente, note que
são subespaços que satisfazem
,
e em qualquer base que una uma base de com uma base de , a matriz de fica diagonal com zeros (na parte da base de ) e uns (na parte da base de ).

Resposta

Sim. T é diagonalizável, pois seu polinômio minimal divide x(x-1) que tem raízes distintas.

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