Seja
uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita
tal que
.
(2)
é diagonalizável? Explique.
(2)
Passo 1
O enunciado diz que
é linear em um espaço vetorial de dimensão finita e satisfaz
Queremos saber se
é diagonalizável. Para isso vamos usar o conceito de autovalores, o polinômio minimal de
e o teorema que afirma: “um operador é diagonalizável se e somente se o seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos”.
Passo 2
Se
é vetor próprio de
associado ao autovalor
, então
Logo os únicos autovalores possíveis são
Passo 3
O polinômio característico e o polinômio minimal de
dividem
cuja fatoração tem raízes distintas (
e
são diferentes no campo qualquer). Portanto o polinômio minimal não tem raízes repetidas.
Passo 4
Pelo teorema do polinômio minimal, como ele se decompõe em fatores lineares distintos,
é diagonalizável. Alternativamente, note que
são subespaços que satisfazem
,
e em qualquer base que una uma base de com uma base de , a matriz de
fica diagonal com zeros (na parte da base de ) e uns (na parte da base de
).
,
e em qualquer base que una uma base de com uma base de
Resposta
Sim.
é diagonalizável, pois seu polinômio minimal divide
que tem raízes distintas.