Se A tem três colunas ortogonais cada uma de comprimento 4, quem é A^T A?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz cujas três colunas são vetores ortogonais entre si e cada uma tem norma igual a 4. O conteúdo aqui é o cálculo da matriz A^TA, que é conhecida como a matriz de Gram das colunas de A. Vamos usar a definição de produto interno para montar essa matriz.

Passo 2

Por definição, a entrada (i,j) de A^TA é o produto interno entre a i-ésima e a j-ésima coluna de A:
(A^TA)ij = ai^Taj
Como as colunas são ortogonais, temos ai^Taj=0 sempre que ineq j.

Passo 3

Além disso, a norma de cada coluna é |ai|=4, logo
(ai^Tai)=|ai|^2=4^2=16
Portanto, os elementos diagonais de A^TA são todos 16, e os fora da diagonal são 0.

Resposta

A^TA = 16,I3 = 16 & 0 & 0 0 & 16 & 0 0 & 0 & 16

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