Considere a matriz
A=[rrr 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ]
(a) Esta matriz é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
é diagonalizável. O conteúdo envolvido é o de diagonalização de matrizes reais: vamos precisar do polinômio característico, dos autovalores (com suas multiplicidades algébricas) e da dimensão de cada autovariedade (multiplicidades geométricas).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I). Temos
det(A-lambda I) =det -lambda & -1 & 1 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda
Expandindo pela primeira linha:
det(A-lambda I) =-lambdal((-lambda)^2-1r) -(-1)l((-1)(-lambda)-1cdot1r) +1l((-1)cdot1-(-lambda)cdot1r)
Fazendo as contas:
-lambda(lambda^2-1) +(lambda-1) +(-1+lambda) =-lambda^3+lambda+lambda-1-1+lambda =-lambda^3+3lambda-2
Logo o polinômio característico é
-lambda^3+3lambda-2=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-3lambda+2=0

Passo 3

Fatorando lambda^3-3lambda+2: note que lambda=1 zera o polinômio, então
lambda^3-3lambda+2=(lambda-1)(lambda^2+lambda-2)=(lambda-1)^2(lambda+2)
Os autovalores são
lambda1=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=-2(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Precisamos da multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I= -1 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 1 & 1 & -1
As equações são todas equivalentes a -x-y+z=0, de modo que temos duas variáveis livres (por exemplo x,y) e z=x+y. Logo a dimensão do espaço próprio de lambda=1 é
dim E1=2,
igual à multiplicidade algébrica. Para lambda=-2 a equação (A+2I)v=0 gera um espaço próprio de dimensão 1 (pois a multiplicidade algébrica é 1, e um autovalor simples sempre tem multiplicidade geométrica 1).

Passo 5

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à ordem da matriz, concluímos que existem três autovetores linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável. Além disso, sendo A real e simétrica, vale o teorema espectral que garante diagonalização por uma base ortonormal de autovetores.

Resposta

Sim. A matriz A é diagonalizável, pois seu polinômio característico fatora em (lambda-1)^2(lambda+2) e a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica, e a de lambda=-2 é 1.

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