(a) Esta matriz é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
é diagonalizável. O conteúdo envolvido é o de diagonalização de matrizes reais: vamos precisar do polinômio característico, dos autovalores (com suas multiplicidades algébricas) e da dimensão de cada autovariedade (multiplicidades geométricas).
Passo 2
Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I). Temos
Precisamos da multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I= -1 & -1 & 1 -1 & -1 & 1 1 & 1 & -1
As equações são todas equivalentes a -x-y+z=0, de modo que temos duas variáveis livres (por exemplo x,y) e z=x+y. Logo a dimensão do espaço próprio de lambda=1 é
dim E1=2,
igual à multiplicidade algébrica. Para lambda=-2 a equação (A+2I)v=0 gera um espaço próprio de dimensão 1 (pois a multiplicidade algébrica é 1, e um autovalor simples sempre tem multiplicidade geométrica 1).
Passo 5
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à ordem da matriz, concluímos que existem três autovetores linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável. Além disso, sendo A real e simétrica, vale o teorema espectral que garante diagonalização por uma base ortonormal de autovetores.
Resposta
Sim. A matriz A é diagonalizável, pois seu polinômio característico fatora em (lambda-1)^2(lambda+2) e a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica, e a de lambda=-2 é 1.