Seja (u1, u2, u3) vetores linearmente independentes. Sejam v1=u2-u3, v2=u3-u1, v3=u1-u2 e w1=u2+u3, w2=u1+u1 e w3=u1+u2.
Mostre que ( w1, w2, w3 ) é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado diz que (u1,u2,u3) são vetores linearmente independentes em algum espaço vetorial. Definimos
w1=u2+u3, w2=u1+u1=2u1, w3=u1+u2,
e queremos mostrar que (w1,w2,w3) também é um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar independência, suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,w1 + beta,w2 + gamma,w3 = 0
Substituindo as definições de wi, obtemos
alpha,(u2+u3) ;+;beta,(2u1);+;gamma,(u1+u2) ;=;0

Passo 3

Agora vamos agrupar os coeficientes de cada ui. A soma acima fica
(,2beta + gamma,),u1 ;+;(,alpha + gamma,),u2 ;+;alpha,u3 ;=;0

Passo 4

Como
implica e finalmente .

Resposta

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, concluímos que (w1,w2,w3) é linearmente independente.

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