Considere a matriz A=(ccc-1 & 0 & 5 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1). Encontre A^25.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -1 & 0 & 5 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1
e pede A^25.
Como A é triangular, suas potências mantêm-se triangulares e os elementos da diagonal são as potências dos elementos da diagonal de A.
Além disso, podemos ver A em bloco como
A = B & u[6pt] 0 & d ,
onde
B = -1 & 0 -2 & 1, u = 50, d = -1
Para potências de bloco triangular vale a fórmula
A^n = B^n & sumk=0^n-1B^,n-1-k,u,d^k[8pt] 0 & d^n
Então precisamos de (1) B^25 e (2) do somatório
S=sumk=0^24B^,24-k,u,(-1)^k.
]

Passo 2

Calcular B^25.
Os autovalores de B são lambda1=-1 e lambda2=1, com autovetores ,(1,1)^T e (0,1)^T. Assim diagonalizamos
B = P,diag(-1,1),P^-1, P=1&01&1,; P^-1=1&0-1&1
Logo
B^n = P,diag((-1)^n,1),P^-1 = (-1)^n & 0[4pt](-1)^n-1 & 1
Em particular, para n=25 (ímpar),
B^25 = (-1)^25&0[4pt](-1)^25-1&1 = -1&0[4pt]-2&1
]

Passo 3

Calcular o bloco de “acoplamento”
S=sumk=0^24B^,24-k,u,(-1)^k
Note que, para qualquer m,
B^m,u =5(-1)^m5l((-1)^m-1r)
Logo o k-ésimo termo é
B^24-ku,(-1)^k =5(-1)^24-k[4pt]5l((-1)^24-k-1r) (-1)^k =5(-1)^24[4pt]5l((-1)^24-k-1r)(-1)^k
Como (-1)^24=1, o primeiro componente de cada termo é sempre 5, e há 25 termos.
Assim,
S1 = sumk=0^245 = 125
Para o segundo componente
S2 = sumk=0^245l((-1)^24-k-1r)(-1)^k =5l[,25cdot(-1)^24 ;-;sumk=0^24(-1)^kr]
Como 25 é ímpar, sumk=0^24(-1)^k=1. Logo
S2 =5l[25cdot1 -1r]=5cdot24=120
Portanto
S=125120
]

Passo 4

Reunindo tudo:
A^25 = B^25 & S[6pt] 0 & (-1)^25 = -1 & 0 & 125 -2 & 1 & 120 0 & 0 & -1
]

Resposta

A^25 = -1 & 0 & 125 -2 & 1 & 120 0 & 0 & -1

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