Sejam
um espaço vetorial e
operadores lineares. Mostre que
e
têm os mesmos autovalores.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
de dimensão finita, dois operadores lineares
têm o mesmo conjunto de autovalores quando compostos em qualquer ordem, ou seja,
e
compartilham exatamente os mesmos valores próprios.
Passo 2
Seja
um autovalor de
. Então existe vetor não-nulo
tal que
Passo 3
Caso
: se
, então
o que obrigaria
, contradizendo
. Logo
e, aplicando
no lado esquerdo da relação original, vem
Portanto
é autovetor de
associado a
, mostrando que
é autovalor de
.
Passo 4
Caso
: temos
com
, ou seja,
não é injetor.
- Se
for injetor, então não pode ser injetor (pois não o é), logo existe tal que . Então
logo
é autovalor de
.
- Se
não for injetor, existe com e então
é algum vetor na imagem de
, mas como
já basta para ver que
está no núcleo de
. De todo modo, tem-se um vetor não-nulo que o
envia em zero, mostrando que
também é autovalor de
.
Passo 5
Invertendo o papel de
e
no argumento acima, obtemos que qualquer autovalor de
também é autovalor de
. Assim, o conjunto de autovalores de
coincide exatamente com o de
.
Resposta
Os operadores
e
têm exatamente os mesmos autovalores.