Sejam V um espaço vetorial e T, L: V V operadores lineares. Mostre que T circ L e L circ T têm os mesmos autovalores.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial V de dimensão finita, dois operadores lineares T,L:Vto V têm o mesmo conjunto de autovalores quando compostos em qualquer ordem, ou seja, ,Tcirc L e ,Lcirc T compartilham exatamente os mesmos valores próprios.

Passo 2

Seja lambda um autovalor de Tcirc L. Então existe vetor não-nulo vin V tal que
(Tcirc L)(v)=lambda,v

Passo 3

Caso lambdaneq 0: se L(v)=0, então
lambda,v=(Tcirc L)(v)=T(0)=0,
o que obrigaria v=0, contradizendo vneq 0. Logo L(v)neq 0 e, aplicando L no lado esquerdo da relação original, vem
(Lcirc T)l(L(v)r) = Ll(T(L(v))r) = Ll((Tcirc L)(v)r) = L(lambda v) = lambda,L(v)
Portanto L(v) é autovetor de Lcirc T associado a lambda, mostrando que lambda é autovalor de Lcirc T.

Passo 4

Caso lambda=0: temos (Tcirc L)(v)=0 com vneq 0, ou seja, Tcirc L não é injetor.
  • Se L for injetor, então T não pode ser injetor (pois Tcirc L não o é), logo existe wneq0 tal que T(w)=0. Então
(Lcirc T)(w) = L(0) = 0,
logo 0 é autovalor de Lcirc T.
  • Se L não for injetor, existe uneq0 com L(u)=0 e então
(Lcirc T)(u) = Ll(T(u)r)
é algum vetor na imagem de L, mas como L(u)=0 já basta para ver que u está no núcleo de L. De todo modo, tem-se um vetor não-nulo que o Lcirc T envia em zero, mostrando que 0 também é autovalor de Lcirc T.

Passo 5

Invertendo o papel de T e L no argumento acima, obtemos que qualquer autovalor de Lcirc T também é autovalor de Tcirc L. Assim, o conjunto de autovalores de Tcirc L coincide exatamente com o de Lcirc T.

Resposta

Os operadores Tcirc L e Lcirc T têm exatamente os mesmos autovalores.

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