Suponha que o operador linear
possui
autovalores distintos. Mostre que
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
que possui
autovalores distintos
. Queremos mostrar que então existe uma base de
formada por autovetores de
, o que implica que
é diagonalizável. Para isso vamos usar o fato fundamental de que autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes.
Passo 2
Sejam
autovetores de
associados a autovalores distintos
. Vamos provar por indução em
que
é um conjunto linearmente independente.
Para
é claro, pois
. Suponha que o resultado vale para
vetores e considere uma combinação
Aplicando
e usando
, obtemos
Subtraindo
vezes a combinação original, vem
Como
para
, todos os fatores
são não nulos. Pela hipótese de indução,
. Voltando à combinação inicial, segue
. Logo
é linearmente independente.
Passo 3
No nosso caso temos
autovetores
associados a
autovalores distintos. Pelo passo anterior, esses
vetores são linearmente independentes em
. Mas em
um conjunto de
vetores independentes é imediatamente uma base do espaço.
Passo 4
Como existe uma base de
formada por autovetores de
, ao escrever a matriz de
nessa base obtemos uma matriz diagonal com entradas
. Isso é exatamente a definição de operador diagonalizável.
Resposta
O operador
é diagonalizável, pois possui
autovetores associados a
autovalores distintos, e esses autovetores formam uma base de
.