Suponha que o operador linear T: R^n R^n possui n autovalores distintos. Mostre que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear Tcolon R^n to R^n que possui n autovalores distintos lambda1,dots,lambdan. Queremos mostrar que então existe uma base de R^n formada por autovetores de T, o que implica que T é diagonalizável. Para isso vamos usar o fato fundamental de que autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes.

Passo 2

Sejam v1,dots,vk autovetores de T associados a autovalores distintos lambda1,dots,lambdak. Vamos provar por indução em k que v1,dots,vk é um conjunto linearmente independente.
Para k=1 é claro, pois v1neq0. Suponha que o resultado vale para k-1 vetores e considere uma combinação
c1v1 + cdots + ckvk = 0
Aplicando T e usando T(vi)=lambdai vi, obtemos
c1lambda1 v1 + cdots + cklambdak vk = 0
Subtraindo lambdak vezes a combinação original, vem
c1(lambda1-lambdak)v1 + cdots + ck-1(lambdak-1-lambdak)vk-1 = 0
Como lambdaineqlambdak para i<k, todos os fatores lambdai-lambdak são não nulos. Pela hipótese de indução, c1=cdots=ck-1=0. Voltando à combinação inicial, segue ck=0. Logo v1,dots,vk é linearmente independente.

Passo 3

No nosso caso temos k=n autovetores v1,dots,vn associados a n autovalores distintos. Pelo passo anterior, esses n vetores são linearmente independentes em R^n. Mas em R^n um conjunto de n vetores independentes é imediatamente uma base do espaço.

Passo 4

Como existe uma base de R^n formada por autovetores de T, ao escrever a matriz de T nessa base obtemos uma matriz diagonal com entradas lambda1,dots,lambdan. Isso é exatamente a definição de operador diagonalizável.

Resposta

O operador T é diagonalizável, pois possui n autovetores associados a n autovalores distintos, e esses autovetores formam uma base de R^n.

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