Seja T: V V um endomorfismo do espaço vetorial V de dimensão n. Suponha que existe uma base C de V com respeito a qual [T]C^C é uma matriz triangular superior com as entradas da diagonal principal sendo 0. Mostre que
T^n=T circ T circ ldots circ T (n vezes )
é a TL nula.

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é um endomorfismo num espaço de dimensão n e que, numa certa base C, a matriz [T]C^C é triangular superior e tem zeros na diagonal. Isso significa que essa matriz é estritamente triangular superior. Queremos mostrar que T^n=Tcirccdotscirc T (produto n vezes) é a transformação nula.

Passo 2

Seja M=[T]C^C. Como M é estritamente triangular superior, temos
Mij=0sempre que i>= j
Em outras palavras, todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela são zero.

Passo 3

Vamos mostrar por indução em k>=1 que
(M^k)ij=0sempre que j< i+k
Base ( k=1): M^1=M e, se j<i+1, isto é, j<= i, então Mij=0 por ser estritamente triangular.
Passo indutivo: suponha a afirmação válida para k. Então
(M^k+1)ij =summ=1^n(M^k)i m,Mm j
Para um termo da soma ser não nulo, precisaríamos ter simultaneamente (M^k)i mneq0 e Mm jneq0. Pelas hipóteses:
  • (M^k)i mneq0 exige m>= i+k.
  • Mm jneq0 exige m<j.
Logo seria preciso i+k<= m<j, ou seja j>i+k. Se j< i+(k+1), então j<= i+k e não existe m satisfazendo essas desigualdades, de modo que cada termo da soma é zero. Assim (M^k+1)ij=0 sempre que j< i+(k+1), fechando a indução.

Passo 4

Para k=n concluímos que
(M^n)ij=0sempre que j< i+n
Mas, como 1<= i,j<= n, sempre vale j<= n<i+n, logo todas as entradas de M^n são zero. Assim M^n é a matriz nula e, em consequência,
[T^n]C^C =[T]C^C,n =M^n =0

Resposta

A transformação T^n é a transformação nula.

Exercícios relacionados