Seja
um endomorfismo do espaço vetorial
de dimensão
. Suponha que existe uma base
de
com respeito a qual
é uma matriz triangular superior com as entradas da diagonal principal sendo 0. Mostre que
é a TL nula.
Passo 1
O enunciado diz que
é um endomorfismo num espaço de dimensão
e que, numa certa base
, a matriz
é triangular superior e tem zeros na diagonal. Isso significa que essa matriz é estritamente triangular superior. Queremos mostrar que
(produto
vezes) é a transformação nula.
Passo 2
Seja
. Como
é estritamente triangular superior, temos
Em outras palavras, todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela são zero.
Passo 3
Vamos mostrar por indução em
que
Base (
):
e, se
, isto é,
, então
por ser estritamente triangular.
Passo indutivo: suponha a afirmação válida para . Então
Passo indutivo: suponha a afirmação válida para
Para um termo da soma ser não nulo, precisaríamos ter simultaneamente
e
. Pelas hipóteses:
-
exige . -
exige .
Logo seria preciso
, ou seja
. Se
, então
e não existe
satisfazendo essas desigualdades, de modo que cada termo da soma é zero. Assim
sempre que
, fechando a indução.
Passo 4
Para
concluímos que
Mas, como
, sempre vale
, logo todas as entradas de
são zero. Assim
é a matriz nula e, em consequência,
Resposta
A transformação
é a transformação nula.