Mais matrizes não semelhantes.
(2) Mostre que as matrizes
não são semelhantes.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes em M2(K):
A=1 & 1[6pt]0 & 1 e I=1 & 0[6pt]0 & 1,
e pede para mostrar que não são semelhantes. O conteúdo é teoria de similaridade de matrizes: vamos usar invariantes como o polinômio mínimo ou a forma de Jordan que não mudam sob semelhança.]
Passo 2
Lembre que se X e Y são semelhantes então, entre outras coisas, têm o mesmo polinômio mínimo mX(t)=mY(t). Esse polinômio mínimo é o monic de menor grau tal que mX(X)=0. Outro ponto é que a forma de Jordan é única até ordem das blocos, então duas matrizes com blocos de Jordan diferentes não podem ser semelhantes.
Passo 3
Calcule o polinômio mínimo de cada uma:
Para I temos
I - I = 0,
logo (t-1) anula I. Não existe polinômio monic de grau zero que anule I, então
mI(t)=t-1
Para A note que
A - I = 0 & 1[3pt]0 & 0neq 0,
mas
(A-I)^2 = 0 & 1[3pt]0 & 0^2 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Assim o menor polinômio monic que anula A é (t-1)^2, ou seja,
mA(t)=(t-1)^2
]
Passo 4
Como mI(t)=t-1 e mA(t)=(t-1)^2 são distintos, concluímos que I e A não podem ser semelhantes (porque similaridade preservaria o polinômio mínimo).