(1) Encontre as possíveis formas canônicas de Jordan de A.
(2) A é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 5 & 4 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 3
e pede: (1) as possíveis formas canônicas de Jordan de A; (2) se A é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar primeiro os autovalores e suas multiplicidades algébricas e, em seguida, deduzir os tamanhos de bloco de Jordan e aplicar o critério de diagonalização.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal principal. Logo, resolvendo
Cada autovalor aparece uma única vez na diagonal, portanto a multiplicidade algébrica de cada um é 1:
mualg(5)=1, mualg(1)=1, mualg(3)=1
Passo 3
Para formar a canônica de Jordan, analisamos a possibilidade de blocos de tamanho maior que 1 para cada autovalor. Mas, como cada multiplicidade algébrica é 1, não há espaço para blocos de dimensão superior a 1. Assim, todos os blocos de Jordan têm tamanho 1.
Portanto, a única forma canônica de Jordan (à ordem dos blocos) é a matriz diagonal contendo os autovalores:
J = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Passo 4
Um critério clássico diz que, se uma matriz ntimes n tem n autovalores distintos (contando multiplicidade algébrica), então ela é diagonalizável. Aqui temos três autovalores distintos em uma matriz 3times3, logo A admite base de autovetores completa e é diagonalizável.
Resposta
(1) A única forma canônica de Jordan de A é
J = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
(2) Sim, A é diagonalizável, pois tem três autovalores distintos em dimensão 3.