Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se efetuarmos uma operação elementar com as linhas de uma matriz em forma escalonada, a matriz resultante ainda estará em forma escalonada.
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao aplicar qualquer operação elementar sobre as linhas de uma matriz que já está em forma escalonada, o resultado permanece em forma escalonada. O conteúdo envolvido é a definição de forma escalonada (row echelon form) e as três operações elementares de linhas.
Passo 2
Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz estas condições:
Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) está à direita do pivot da linha acima.
Todos os elementos abaixo de cada pivot são zeros.
Passo 3
As operações elementares de linhas são:
trocar duas linhas entre si;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo escalar de outra linha.
Passo 4
Nem toda operação preserva a ordem dos pivôs. Por exemplo, considere a matriz em forma escalonada
Se trocarmos a linha 1 com a linha 2 (operação do tipo 1), obtemos
A' = 0 & 3 1 & 2
Em A', o primeiro pivot está na coluna 2 da linha 1, mas o pivot da linha 2 está na coluna 1, que fica à esquerda do pivot acima. Logo a condição de pivôs estritamente deslocados para a direita é violada, e A' não está em forma escalonada.