Responda as seguintes questões:
(1) A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre a matriz diagonal correspondente e a matriz da transformação linear associada a ela;
(2) Calcule o traço, denotado por tr(A), e o determinante, denotado por det(A), da matriz A;
(3) Calcule os autovalores e autovetores de A^2;
(4) Calcule os autovalores e autovetores de A^-1;
(5) Calcule os autovalores e autovetores de A+4 I,onde I é a matriz identidade 2 times 2.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede (1) se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal e a mudança de base; (2) o traço e o determinante ; (3) os autovalores/vetores de ; (4) os autovalores/vetores de ; (5) os autovalores/vetores de . Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores e o fato de que matrizes simétricas são diagonalizáveis por uma base ortogonal de autovetores.
Passo 2
Encontrar os autovalores de
Para o sistema dá
çã
Escolhemos o autovetor , o sistema dá
çã
Escolhemos é diagonalizável.
Definimos
Note que e
Passo 3
O traço e o determinante de podem ser lidos direto ou calculados:
Passo 4
Como A=PDP^-1, temos
A^2 = P D^2 P^-1,
logo os autovalores de A^2 são lambda1^2=3^2=9 e lambda2^2=1^2=1, e os autovetores são os mesmos de A, isto é, v1=(1,-1) para 9 e v2=(1,1) para 1.
Passo 5
Para A^-1, como det(A)neq0, temos
A^-1=P D^-1P^-1,
e os autovalores são os inversos: tfrac13 e 1. Os autovetores continuam v1=(1,-1) associado a tfrac13 e v2=(1,1) associado a 1.
Passo 6
Para A+4I vale
A+4I = P(D+4I)P^-1,
portanto os autovalores somam 4: 3+4=7 e 1+4=5. Os autovetores são outra vez v1=(1,-1) para 7 e v2=(1,1) para 5.
Resposta
(1) Sim, é diagonalizável.
(2) , .
(3) Autovalores de : e ; autovetores: para , para .
(4) Autovalores de : e ; autovetores: para , para .
(5) Autovalores de : e ; autovetores: para , para .