Sabe-se que para algum número real x a seguinte igualdade é verdadeira. Determine o valor de x.
[rrr -1 & 2 & -2 1 & -6 & 4 2 & x & 7 ]^2024=[rrr -1 & 6 & -4 1 & -2 & 2 2 & -6 & 5 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= -1 & 2 & -2 1 & -6 & 4 2 & x & 7
e afirma que
A^2024 = -1 & 6 & -4 1 & -2 & 2 2 & -6 & 5
O conteúdo aqui é potência de matriz e a ideia de idempotência (matriz que ao quadrado é ela mesma). Vamos usar que
A^2024=(A^2)^1012
e buscar um x que faça A^2 coincidir com a matriz do enunciado, pois se chamarmos
B = A^2
e conseguirmos B^2=B, então
A^2024 = B^1012 = B

Passo 2

Calculemos A^2. Faço produto de A por A:
A^2 = -1 & 2 & -2 1 & -6 & 4 2 & x & 7 -1 & 2 & -2 1 & -6 & 4 2 & x & 7 = -1 & -14-2x & -4 1 & 38+4x & 2 x+12 & 4+x & 45+4x

Passo 3

Queremos A^2 igual à matriz do enunciado, que chamei de B:
B= -1 & 6 & -4 1 & -2 & 2 2 & -6 & 5
Comparamos as entradas correspondentes: da posição (1,2) vem
-14 - 2x = 6 Longrightarrow -2x = 20 Longrightarrow x = -10

Passo 4

Verificamos que, para x=-10, todas as entradas casam:
-14-2(-10)=6, 38+4(-10)=-2, x+12=2, 4+x=-6, 45+4x=5,
logo de fato A^2=B.

Passo 5

Por fim, checamos que B^2=B, ou seja, B é idempotente (basta verificar Bcdot B=B). Isso implica
A^2024=(A^2)^1012=B^1012=B,
como quer o enunciado.

Resposta

x = -10

Exercícios relacionados