Considere a matriz A e sua forma equivalente escalonada:
A=[cccccc1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 2 & 5 & 5 & 6 & 4 & 5 3 & 7 & 6 & 11 & 6 & 9 1 & 5 & 10 & 8 & 9 & 9 2 & 6 & 8 & 11 & 9 & 12] [llllll1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]
a) Determine uma base para o subespaço do R^6 gerado pelas linhas de A.
b) Determine quais são as colunas de A que são combinação linear das colunas anteriores.
c) Determine uma base para o subespaço do R^5 gerado pelas colunas de A.
d) Determine o posto de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz Ain R^5times6 e sua forma escalonada por linhas. Pede-se:
bul<=t (a) base do subespaço de R^6 gerado pelas linhas de A (row space),
bul<=t (b) quais colunas de A são combinação linear das colunas anteriores,
bul<=t (c) base do subespaço de R^5 gerado pelas colunas de A (column space),
bul<=t (d) o posto de A.
Vamos usar redução por linhas, identificação de pivôs e propriedades de espaços linha/coluna.

Passo 2

Para achar uma base do espaço gerado pelas linhas (row space), note que operações elementares de linha não mudam esse espaço. A forma escalonada tem 3 linhas não nulas, logo
dim(row space)=3
e uma base pode ser tomada como as três linhas não nulas da forma escalonada:
(1,2,1,3,1,2), (0,1,3,1,2,1), (0,0,0,1,1,2)

Passo 3

Na forma escalonada, aparecem pivôs em
bul<=t coluna 1 (linha 1),
bul<=t coluna 2 (linha 2),
bul<=t coluna 4 (linha 3).
Logo as colunas 1, 2 e 4 de A são independentes, e as colunas 3, 5 e 6 são não-pivôs, devendo ser combinação linear das anteriores.

Passo 4

Para expressar cada coluna não-pivô em termos das colunas pivô, usamos as entradas dessas colunas na forma escalonada.
Sejam colj as colunas da forma escalonada restritas às linhas 1 3 (onde há pivô). Então:
Para col3 temos entradas (1,3,0). Buscamos a,b,c tais que
a,(1,0,0) + b,(2,1,0) + c,(3,1,1) = (1,3,0)
Da 3ª coordenada c=0. Da 2ª b=3. Da 1ª a+2b+3c=1implies a=-5.
Logo na matriz original
col3 = -5,col1 + 3,col2
Para col5 com (1,2,1) achamos
col5 = -4,col1 + 1,col2 + 1,col4,
e para col6 com (2,1,2)
col6 = -2,col1 -1,col2 + 2,col4

Passo 5

Uma base para o espaço gerado pelas colunas de A (column space) são as colunas pivô de A, isto é,
col1 = (1,2,3,1,2), col2 = (2,5,7,5,6), col4 = (3,6,11,8,11)

Passo 6

O posto de , , é o número de pivôs, que é .

Resposta

a) Uma base para o espaço gerado pelas linhas de A é
(1,2,1,3,1,2),;(0,1,3,1,2,1),;(0,0,0,1,1,2)
b) As colunas de A que são combinação linear das anteriores são as colunas 3,5,6, com
col3 = -5,col1 +3,col2, col5 = -4,col1 +1,col2 +1,col4, col6 = -2,col1 -1,col2 +2,col4
c) Uma base para o espaço gerado pelas colunas de A é
(1,2,3,1,2),;(2,5,7,5,6),;(3,6,11,8,11)
d) O posto de A é 3.

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