Considere a matriz e sua forma equivalente escalonada:
a) Determine uma base para o subespaço do R^6 gerado pelas linhas de A.
b) Determine quais são as colunas de A que são combinação linear das colunas anteriores.
c) Determine uma base para o subespaço do R^5 gerado pelas colunas de A.
d) Determine o posto de A.
Passo 1
O enunciado dá a matriz Ain R^5times6 e sua forma escalonada por linhas. Pede-se: bul<=t (a) base do subespaço de R^6 gerado pelas linhas de A (row space), bul<=t (b) quais colunas de A são combinação linear das colunas anteriores, bul<=t (c) base do subespaço de R^5 gerado pelas colunas de A (column space), bul<=t (d) o posto de A.
Vamos usar redução por linhas, identificação de pivôs e propriedades de espaços linha/coluna.
Passo 2
Para achar uma base do espaço gerado pelas linhas (row space), note que operações elementares de linha não mudam esse espaço. A forma escalonada tem 3 linhas não nulas, logo dim(row space)=3
e uma base pode ser tomada como as três linhas não nulas da forma escalonada:
(1,2,1,3,1,2), (0,1,3,1,2,1), (0,0,0,1,1,2)
Passo 3
Na forma escalonada, aparecem pivôs em bul<=t coluna 1 (linha 1), bul<=t coluna 2 (linha 2), bul<=t coluna 4 (linha 3).
Logo as colunas 1, 2 e 4 de A são independentes, e as colunas 3, 5 e 6 são não-pivôs, devendo ser combinação linear das anteriores.
Passo 4
Para expressar cada coluna não-pivô em termos das colunas pivô, usamos as entradas dessas colunas na forma escalonada.
Sejam colj as colunas da forma escalonada restritas às linhas 1–3 (onde há pivô). Então:
Para col3 temos entradas (1,3,0). Buscamos a,b,c tais que
a,(1,0,0) + b,(2,1,0) + c,(3,1,1) = (1,3,0)
Da 3ª coordenada c=0. Da 2ª b=3. Da 1ª a+2b+3c=1implies a=-5.
Logo na matriz original
col3 = -5,col1 + 3,col2
Para col5 com (1,2,1) achamos
col5 = -4,col1 + 1,col2 + 1,col4,
e para col6 com (2,1,2)
col6 = -2,col1 -1,col2 + 2,col4
Passo 5
Uma base para o espaço gerado pelas colunas de A (column space) são as colunas pivô de A, isto é,