Escreva a matriz A=[cc2 & 3 4 & -7] na base
B=m1, m2, m3, m4 onde:
m1=[ll1 & 1 1 & 1], m2=[cc1 & -1 1 & 0], m3=[cc1 & -1 0 & 0], m4=[ll1 & 0 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A=2 & 3 4 & -7
como combinação linear dos vetores (matrizes) da base
B=m1,m2,m3,m4,
onde
m1=1 & 1 1 & 1, m2=1 & -1 1 & 0, m3=1 & -1 0 & 0, m4=1 & 0 0 & 0
O conteúdo usado aqui é mudança de base em um espaço vetorial de dimensão 4 (as matrizes 2times2). Vamos achar escalares x1,x2,x3,x4 tais que
A = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 + x4 m4

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e somamos as matrizes:
x11&11&1 +x21&-11&0 +x31&-10&0 +x41&00&0 = x1+x2+x3+x4 & x1 - x2 - x3 x1 + x2 & x1

Passo 3

Agora igualamos cada entrada dessa soma às entradas correspondentes de A. Isso gera o sistema
x1 + x2 + x3 + x4 = 2, x1 - x2 - x3 = 3, x1 + x2 = 4, x1 = -7

Passo 4

Resolvendo em cascata:
  • Da última equação temos x1 = -7
  • Substituindo em x1 + x2 = 4 -7 + x2 = 4 Longrightarrow x2 = 11
  • Agora em x1 - x2 - x3 =3 temos -7 - 11 - x3 = 3 Longrightarrow -18 - x3 = 3 Longrightarrow x3 = -21
  • Finalmente em x1 + x2 + x3 + x4 =2 fica -7 + 11 -21 + x4 = 2 Longrightarrow -17 + x4 = 2 Longrightarrow x4 = 19

Resposta

Os coeficientes na base são
ou seja

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