seja o conjunto de todos os vetores da forma apresentada, com e representando números reais arbitrários. Em cada caso, encontre um conjunto de vetores que geram ou dê um exemplo mostrando que não é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
W = 3a+b 4 a-5b;|;a,binR
O conteúdo de matéria é “subespaços de R^3” e queremos ver se W é subespaço (isto é, espaço vetorial em si) ou não. Se for, achar um conjunto de vetores que gere W; caso contrário, dar um exemplo que mostre a falha (violação de algum axioma de espaço vetorial).
Passo 2
Para ser subespaço, W precisa conter o vetor zero 0=(0,0,0)^T. Suponha que exista (a,b) tal que
3a+b 4 a-5b = 0 0 0
Da segunda componente vem
4 = 0,
o que é impossível. Logo 0notin W.
Passo 3
Como falta o vetor zero, W não é fechado sob adição nem sob multiplicação escalar (já que todo vetor em W tem segunda componente igual a 4, e um múltiplo escalar qualquer teria segunda componente diferente de 4, exceto o escalar 1). Portanto W não satisfaz os axiomas de espaço vetorial.
Resposta
W não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero (segunda componente fixa em 4).