Dados u=(1,2,0,-1), v=(2,6,-3,-3), w=(3,10,-6,-5):
a) Verifique se estes vetores são LI ou LD.
b) Determine a dimensão de S(u, v, w), ou seja, do subespaço do R^4 gerado por esses três vetores.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
u = (1,2,0,-1), v=(2,6,-3,-3), w=(3,10,-6,-5),
e pede:
– (a) verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD);
– (b) determinar dim S(u,v,w), onde S(u,v,w) é o subespaço gerado por esses vetores.
Para isso vamos usar o conceito de combinação linear e o cálculo do posto (rank) da matriz cujas colunas são u,v,w.

Passo 2

Montamos a matriz A de ordem 4times3 cujas colunas são u,v,w, de modo que
A = 1 & 2 & 3 [6pt] 2 & 6 & 10 [6pt] 0 & -3 & -6 [6pt] -1& -3 & -5
Se rank(A)<3, existe combinação não trivial a,u+b,v+c,w=0 e os vetores são LD; se rank(A)=3, são LI.]

Passo 3

Aplicamos operações elementares para escalonar A:
1. R2 R2-2R1 e R4 R4+R1
1 & 2 & 3 [3pt] 0 & 2 & 4 [3pt] 0 & -3 & -6 [3pt] 0 & -1 & -2
2. Com R3 R3+tfrac32R2 e R4 R4+tfrac12R2 obtemos
1 & 2 & 3 [3pt] 0 & 2 & 4 [3pt] 0 & 0 & 0 [3pt] 0 & 0 & 0
Há exatamente dois pivôs (nas colunas 1 e 2).]

Passo 4

Como
De fato, das operações vemos que fica dependente de e . Podemos também resolver
pelos dois primeiros componentes:
que dá . Verifica-se que os outros componentes batem, logo
e assim há combinação não trivial . Concluímos que são linearmente dependentes.

Passo 5

A dimensão do subespaço gerado por u,v,w é justamente o posto de A, ou seja,
dim S(u,v,w) = rank(A) = 2

Resposta

(a) Os vetores são linearmente dependentes.
(b) dim S(u,v,w)=2

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