Considere as a matriz A e a sua inversa mostre que ambas apresentam mesmo autovetores. Calcule seus traços e determinantes.
A=\left|\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right| \quad \mathrm{A}^{-1}=\left|\begin{array}{cc} -1 / 2 & 1 \\\\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e sua inversa
A^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac12 & 1 \\[4pt] \tfrac12 & 0\end{pmatrix},
pede para mostrar que ambas têm os mesmos autovetores e calcular seus traços e determinantes. O conteúdo envolve propriedades de autovalores e autovetores de matrizes invertíveis, além de conceitos de traço e determinante.]

Passo 2

Seja v\neq0 um autovetor de A com autovalor \lambda, ou seja,
A\,v = \lambda\,v.
Como A é invertível, \lambda\neq0. Aplicando A^{-1} em ambos os lados, obtemos
A^{-1}(A\,v) \;=\; A^{-1}(\lambda\,v) \qquad\Longrightarrow\qquad v \;=\; \lambda\,(A^{-1}v) \qquad\Longrightarrow\qquad A^{-1}v \;=\;\frac{1}{\lambda}\,v.
Logo v é também autovetor de A^{-1}, com autovalor 1/\lambda.

Passo 3

Reciprocamente, se u é autovetor de A^{-1} com autovalor \mu\neq0, então
A^{-1}u = \mu\,u \quad\Longrightarrow\quad u = A(A^{-1}u) = \mu\,(A\,u) \quad\Longrightarrow\quad A\,u = \frac{1}{\mu}\,u,
mostrando que u também é autovetor de A. Concluímos que A e A^{-1} compartilham exatamente o mesmo conjunto de autovetores.

Passo 4

Calculemos o traço e o determinante de A.
O traço é a soma dos elementos da diagonal:
\mathrm{tr}(A) = 0 + 1 = 1.
O determinante em dimensão 2 é
\det(A) = (0)(1) - (2)(1) = -2.

Passo 5

Agora o traço e o determinante de A^{-1}.
O traço é
\mathrm{tr}(A^{-1}) = -\tfrac12 + 0 = -\tfrac12.
E o determinante em dimensão 2 é
\det(A^{-1}) = \bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot 0 \;-\; (1)\cdot \tfrac12 = -\tfrac12,
o que confirma a propriedade \det(A^{-1}) = 1/\det(A).

Resposta

\mathrm{tr}(A)=1,\quad \det(A)=-2; \mathrm{tr}(A^{-1})=-\tfrac12,\quad \det(A^{-1})=-\tfrac12.

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