Encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
A=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 4 & 2 & 4 \\\\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 4\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve encontrar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, a partir disso, resolver para \lambda e depois achar os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 2\\\\ 4 & 2-\lambda & 4\\\\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e simplificando os termos, obtemos
\det(A-\lambda I) =-\lambda^2(\lambda-6).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
-\lambda^2(\lambda-6)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0\\ (\text{multiplicidade }2), \;\lambda=6\\ (\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Para \lambda=6, resolvemos (A-6I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} -4 & 1 & 2\\\\ 4 & -4 & 4\\\\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa forma obtém-se a relação x: y: z = 1:2:1. Portanto um autovetor associado é
v_6 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=0, resolvemos A\,v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 4\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; 2x+y+2z=0.
Temos dois graus de liberdade. Escolhendo parâmetros s e t como x=s, z=t, vem y=-2s-2t. Uma base do espaço próprio de \lambda=0 é, por exemplo,
v_{0,1} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{0,2} = \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=6 (mult.\ 1), \lambda_2=0 (mult.\ 2).
Autovetores:
para \lambda=6:
\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix};
para \lambda=0:
\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

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