Encontre os auto valores e autovetores para as matrizes indicadas abaixo.
A=\left|\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right| \quad A+I=\left|\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores de
A = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A+I = \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e resolução do sistema (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Polinômio característico de A:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\\ 2 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda)-6 = \lambda^2 -5\lambda -2.
Daí
\lambda^2 -5\lambda -2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}.

Passo 3

Para \displaystyle \lambda_1 = \frac{5+\sqrt{33}}{2}, resolvemos
\begin{pmatrix} 1-\lambda_1 & 3\\\\ 2 & 4-\lambda_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha (1-\lambda_1)x+3y=0, segue y=\tfrac{\lambda_1-1}{3}\,x. Tomando x=3, obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}3\\lambda_1-1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \displaystyle \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{33}}{2} o raciocínio é análogo, dando o autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}3\\lambda_2-1\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora para A+I=\begin{pmatrix}2&4\\\ 2&4\end{pmatrix}, o polinômio característico é
\det\bigl((A+I)-\lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4\\\ 2 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda)-8 = \lambda^2 -6\lambda.
Logo \lambda(\lambda-6)=0, isto é, os autovalores são \lambda=0 e \lambda=6.

Passo 6

Para \lambda=6, da equação (-4)x+4y=0 vem y=x. Um autovetor é
w_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=0, de 2x+4y=0 segue x=-2y. Escolhendo y=1, um autovetor é
w_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
\lambda_1 = \frac{5+\sqrt{33}}{2},\quad v_1 = \begin{pmatrix}3\\lambda_1-1\end{pmatrix}; \qquad \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{33}}{2},\quad v_2 = \begin{pmatrix}3\\lambda_2-1\end{pmatrix}.
Autovalores e autovetores de A+I:
\lambda=6,\;w_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}; \qquad \lambda=0,\;w_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.

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