Questão 5 Sejam p, q \in \mathcal{P}_{2} com p=-x+1 e q=x. Considere o produto interno usual, a distância e a norma providas do produto interno usual. Calcule:
(a) ||p||+||q||+\langle p, q\rangle;
(b) d(p, q).

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios em \mathcal{P}_{2}: \displaystyle p(x)=1 - x e \displaystyle q(x)=x.
O “produto interno usual” aqui é o produto escalar das coordenadas na base canônica \{1,x,x^2\}, ou seja, se escrevemos
p\longleftrightarrow (1,\,-1,\,0),\quad q\longleftrightarrow(0,\,1,\,0),
então
\langle p,q\rangle = 1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot0,
a norma é \lVert p\rVert=\sqrt{\langle p,p\rangle} e a distância é d(p,q)=\lVert p-q\rVert.

Passo 2

Coordenadas dos vetores:
p\longleftrightarrow (1,\,-1,\,0),\quad q\longleftrightarrow(0,\,1,\,0).

Passo 3

Cálculo do produto interno:
\langle p,q\rangle = 1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot0 = -1.

Passo 4

Cálculo das normas:
\lVert p\rVert = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}, \quad \lVert q\rVert = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1.

Passo 5

Agora somamos:
\lVert p\rVert + \lVert q\rVert + \langle p,q\rangle = \sqrt{2} + 1 + (-1) = \sqrt{2}.

Passo 6

Cálculo da distância:
p-q = (1,-1,0) - (0,1,0) = (1,-2,0),
d(p,q) = \lVert p-q\rVert = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}.

Resposta

(a) \sqrt{2}
(b) \sqrt{5}

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