Encontre os auto autovalores e autovetores de \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{AB} e BA .
A=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right| \quad B=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right| \quad A B=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right| \quad B A=\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&1\end{pmatrix}
e pede os autovalores e autovetores de cada uma. Para isso vamos usar duas ideias fundamentais:
  1. Calcular o polinômio característico \det(M-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda.
  2. Para cada \lambda, resolver (M-\lambda I)\,v=0 para obter o autovetor v.

Passo 2

Para A temos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&0\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2=0
logo o único autovalor (de multiplicidade 2) é \lambda=1.
Agora (A-I)v=0
\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\;x=0.
Portanto os autovetores são todos múltiplos de \bigl(0,1\bigr).

Passo 3

Para B temos
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ 0&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2=0
logo \lambda=1 (multiplicidade 2).
Resolvendo (B-I)v=0:
\begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\;2y=0\;\Rightarrow\;y=0.
Assim os autovetores são múltiplos de \bigl(1,0\bigr).

Passo 4

Para AB=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix} o polinômio é
\det(AB-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ 1&3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda)-2 =\lambda^2-4\lambda+1=0.
As raízes são
\lambda_{1,2} =\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} =2\pm\sqrt{3}.
Para cada \lambda resolvemos (AB-\lambda I)v=0:
(1-\lambda)x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\lambda-1}{2}\,x.
Escolhendo x=1, obtemos os autovetores \displaystyle v_i=\bigl(1,\tfrac{\lambda_i-1}{2}\bigr)
para \lambda_1=2+\sqrt{3} e \lambda_2=2-\sqrt{3}.

Passo 5

Para BA=\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&1\end{pmatrix} o polinômio é
\det(BA-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda&2\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)-2 =\lambda^2-4\lambda+1=0,
ou seja, \lambda=2\pm\sqrt{3} de novo.
Agora (BA-\lambda I)v=0 dá, pela segunda linha,
x+(1-\lambda)y=0 \;\Rightarrow\; x=(\lambda-1)\,y.
Tomando y=1, os autovetores são \displaystyle w_i=\bigl(\lambda_i-1,\;1\bigr)
para \lambda_1=2+\sqrt{3} e \lambda_2=2-\sqrt{3}.

Resposta

A: autovalor \lambda=1 (multiplicidade 2), autovetores \{(0,1)\}.
B: autovalor \lambda=1 (multiplicidade 2), autovetores \{(1,0)\}.
AB: autovalores \lambda_{1,2}=2\pm\sqrt{3}, autovetores \bigl(1,\tfrac{\lambda_i-1}{2}\bigr).
BA: autovalores \lambda_{1,2}=2\pm\sqrt{3}, autovetores \bigl(\lambda_i-1,1\bigr).

Exercícios relacionados