e pede para verificar se A é simétrica, antissimétrica ou nenhuma das duas, justificando a resposta usando a transposta da matriz. Vou listar claramente o que se quer:
Determinar se A satisfaz \,A^{T}=A (simétrica) ou \,A^{T}=-A (antissimétrica) ou nenhuma.
Usar a definição de transposta para comparar entradas correspondentes.]
Passo 2
Definições e propriedades importantes (explicadas devagarinho):
Se A=(a_{ij}) é uma matriz, a transposta A^{T} é a matriz cujas entradas são dadas por (A^{T})_{ij}=a_{ji}. Na prática, formar A^{T} equivale a trocar linhas por colunas.
Matrizes simétricas satisfazem
A^{T}=A,
ou seja, cada entrada acima da diagonal principal é igual à entrada simétrica abaixo da diagonal.
Uma observação útil: se \,A^{T}=-A, então para cada i temos a_{ii}=-a_{ii}, o que implica 2a_{ii}=0. Em \mathbb{R} isso força a_{ii}=0. Logo, todos os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser zero. (No nosso caso, os elementos da diagonal de A são 0,0,0, então essa condição necessária está satisfeita.)
Passo 3
Calcular explicitamente a transposta A^{T}. Trocando linhas por colunas:
Comparando A^{T} e A: por exemplo (A)_{12}=-2 enquanto (A)_{21}=2; como -2 \neq 2 temos A^{T}\neq A. Logo A não é simétrica.
Comparando A^{T} e -A: observa-se que as duas matrizes calculadas em Passo 3 e Passo 4 são idênticas entrada a entrada. Portanto
A^{T} = -A.
Isso verifica precisamente a condição de antissimetria.
Passo 6
Interpretação final e lembrete prático: a igualdade A^{T}=-A mostra que cada elemento fora da diagonal é o negativo do elemento simétrico em relação à diagonal, e que a diagonal é zero — exatamente o comportamento de uma matriz antissimétrica. Assim, A é antissimétrica.