Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 3 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ -3 & -1 & 0\end{array}\right)
Verifique se A é simétrica, antissimétrica ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta utilizando a transposta da matriz.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\[4pt] 2 & 0 & 1 \\[4pt] -3 & -1 & 0\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é simétrica, antissimétrica ou nenhuma das duas, justificando a resposta usando a transposta da matriz. Vou listar claramente o que se quer:
  • Determinar se A satisfaz \,A^{T}=A (simétrica) ou \,A^{T}=-A (antissimétrica) ou nenhuma.
  • Usar a definição de transposta para comparar entradas correspondentes.]

Passo 2

Definições e propriedades importantes (explicadas devagarinho):
  • Se A=(a_{ij}) é uma matriz, a transposta A^{T} é a matriz cujas entradas são dadas por (A^{T})_{ij}=a_{ji}. Na prática, formar A^{T} equivale a trocar linhas por colunas.
  • Matrizes simétricas satisfazem
A^{T}=A,
ou seja, cada entrada acima da diagonal principal é igual à entrada simétrica abaixo da diagonal.
  • Matrizes antissimétricas (ou skew-symmetric) satisfazem
A^{T}=-A.
Uma observação útil: se \,A^{T}=-A, então para cada i temos a_{ii}=-a_{ii}, o que implica 2a_{ii}=0. Em \mathbb{R} isso força a_{ii}=0. Logo, todos os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser zero. (No nosso caso, os elementos da diagonal de A são 0,0,0, então essa condição necessária está satisfeita.)

Passo 3

Calcular explicitamente a transposta A^{T}. Trocando linhas por colunas:
A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\[4pt] -2 & 0 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular explicitamente -A (multiplicando todos os elementos de A por -1):
- A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\[4pt] -2 & 0 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparações e conclusão passo a passo:
  • Comparando A^{T} e A: por exemplo (A)_{12}=-2 enquanto (A)_{21}=2; como -2 \neq 2 temos A^{T}\neq A. Logo A não é simétrica.
  • Comparando A^{T} e -A: observa-se que as duas matrizes calculadas em Passo 3 e Passo 4 são idênticas entrada a entrada. Portanto
A^{T} = -A.
Isso verifica precisamente a condição de antissimetria.

Passo 6

Interpretação final e lembrete prático: a igualdade A^{T}=-A mostra que cada elemento fora da diagonal é o negativo do elemento simétrico em relação à diagonal, e que a diagonal é zero — exatamente o comportamento de uma matriz antissimétrica. Assim, A é antissimétrica.

Resposta

A é antissimétrica, pois A^{T}=-A.

Exercícios relacionados