As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
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Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
- Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
- Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
A equação dada é:
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda): as relações entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas (vou explicá-las nos passos seguintes).
Passo 2
Vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas e as fórmulas de conversão. Nas coordenadas cilíndricas usamos os parâmetros
onde:
Aqui
é a distância ao eixo
(isto é,
),
é o ângulo no plano
e
é o mesmo
cartesiano. Essas são fórmulas padrão e fáceis de memorizar: troque
por
,
por
e mantenha
.
Passo 3
Substituo
e
em termos de
e
na equação dada. Primeiro observo que
Logo a equação original
fica, em cilíndricas,
Passo 4
Para deixar a forma mais interpretável, completo quadrado em
. Reescrevo
como
isto é,
Essa forma deixa claro que, na representação cilíndrica, a superfície é o conjunto de pontos cuja distância ao eixo
e ao plano
satisfaz essa relação — geometricamente é a esfera de centro
e raio
, só que escrita em termos de
e
. Também podemos isolar
se quisermos:
com a restrição
para que a raiz seja real; mas a forma mais limpa em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Agora vamos para coordenadas esféricas. Primeiro lembro as convenções e fórmulas. Usarei a convenção padrão:
onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo
(ou seja,
mede a colatitude:
no polo norte), e
é o mesmo ângulo azimutal do plano
entre
e
. Uma propriedade útil e imediata é
Essa identidade simplifica muito a substituição.
Passo 6
Substituo
por
e
por
na equação dada:
Como
pode ser zero ou positivo, posso simplificar por
quando
. Fazendo isso obtemos
Também a solução
está incluída quando
dá
no caso trivial; mas a expressão
captura a superfície (com a observação sobre domínios que faço a seguir).
Passo 7
Verificando o domínio válido: pela definição,
. Portanto a igualdade
só faz sentido quando o lado direito é não negativo, ou seja quando
. Como
na convenção usual, isso significa
Isso é coerente com a geometria da esfera dada: ela está centrada em
com raio
, e portanto tem
entre
e
(ou seja, não há pontos com
), então
só atinge ângulos na metade superior. Em muitos livros aceita-se escrever simplesmente
entendendo a restrição implícita
.
Passo 8
Resumo das duas formas obtidas (já com a explicação do que cada variável representa):
- Em coordenadas cilíndricas
: substituí e obtive
ou, completando o quadrado,
- Em coordenadas esféricas
: substituí e e obtive
com a observação de que
implica
, i.e.,
.