As equações das superfícies são dadas em coordenadas retangulares. Escreva estas equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
l) x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície em coordenadas retangulares e pede duas coisas:
  • Escrever a mesma equação em coordenadas cilíndricas.
  • Escrever a mesma equação em coordenadas esféricas.
A equação dada é:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z.
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda): as relações entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas (vou explicá-las nos passos seguintes).

Passo 2

Vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas e as fórmulas de conversão. Nas coordenadas cilíndricas usamos os parâmetros \,r,\theta,z\, onde:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui \,r\ge 0\, é a distância ao eixo z (isto é, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), \theta é o ângulo no plano xy e z é o mesmo z cartesiano. Essas são fórmulas padrão e fáceis de memorizar: troque x por r\cos\theta, y por r\sin\theta e mantenha z.

Passo 3

Substituo x e y em termos de r e \theta na equação dada. Primeiro observo que
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Logo a equação original
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z
fica, em cilíndricas,
r^{2}+z^{2}=2z.

Passo 4

Para deixar a forma mais interpretável, completo quadrado em z. Reescrevo
r^{2}+z^{2}-2z=0
como
r^{2}+(z^{2}-2z+1)=1,
isto é,
r^{2}+(z-1)^{2}=1.
Essa forma deixa claro que, na representação cilíndrica, a superfície é o conjunto de pontos cuja distância ao eixo z e ao plano z satisfaz essa relação — geometricamente é a esfera de centro (0,0,1) e raio 1, só que escrita em termos de r e z. Também podemos isolar z se quisermos:
(z-1)^{2}=1-r^{2}\quad\Rightarrow\quad z=1\pm\sqrt{1-r^{2}},
com a restrição 0\le r\le 1 para que a raiz seja real; mas a forma mais limpa em coordenadas cilíndricas é \,r^{2}+(z-1)^{2}=1\,.

Passo 5

Agora vamos para coordenadas esféricas. Primeiro lembro as convenções e fórmulas. Usarei a convenção padrão:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem, \varphi é o ângulo com o eixo z (ou seja, \varphi mede a colatitude: \varphi=0 no polo norte), e \theta é o mesmo ângulo azimutal do plano xy entre 0 e 2\pi. Uma propriedade útil e imediata é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Essa identidade simplifica muito a substituição.

Passo 6

Substituo x^{2}+y^{2}+z^{2} por \rho^{2} e z por \rho\cos\varphi na equação dada:
\rho^{2}=2(\rho\cos\varphi).
Como \rho pode ser zero ou positivo, posso simplificar por \rho quando \rho\neq 0. Fazendo isso obtemos
\rho = 2\cos\varphi.
Também a solução \rho=0 está incluída quando \cos\varphi=0 \rho=0 no caso trivial; mas a expressão \rho=2\cos\varphi captura a superfície (com a observação sobre domínios que faço a seguir).

Passo 7

Verificando o domínio válido: pela definição, \rho\ge 0. Portanto a igualdade \rho=2\cos\varphi só faz sentido quando o lado direito é não negativo, ou seja quando \cos\varphi\ge 0. Como \varphi\in[0,\pi] na convenção usual, isso significa
0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.
Isso é coerente com a geometria da esfera dada: ela está centrada em (0,0,1) com raio 1, e portanto tem z entre 0 e 2 (ou seja, não há pontos com z<0), então \varphi só atinge ângulos na metade superior. Em muitos livros aceita-se escrever simplesmente \rho=2\cos\varphi entendendo a restrição implícita \cos\varphi\ge 0.

Passo 8

Resumo das duas formas obtidas (já com a explicação do que cada variável representa):
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z): substituí x^{2}+y^{2}=r^{2} e obtive
r^{2}+z^{2}=2z,
ou, completando o quadrado,
r^{2}+(z-1)^{2}=1.
  • Em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi): substituí x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e z=\rho\cos\varphi e obtive
\rho=2\cos\varphi,
com a observação de que \rho\ge 0 implica \cos\varphi\ge 0, i.e., 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.

Resposta

r^{2}+z^{2}=2z (ou equivalentemente r^{2}+(z-1)^{2}=1)\n
\rho=2\cos\varphi (com 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2})

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