Considere as matrizes A_{3 \times 1}, B_{3 \times 6}, C_{6 \times 2}, D_{2 \times 6} e E_{1 \times 3}. Determine se a expressão matricial está definida e se estiver, determine o tamanho da matriz resultante:
C+D^{t}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Matrizes fornecidas (peguei estes tamanhos do enunciado):
    • A é 3\times1.
    • B é 3\times6.
    • C é 6\times2.
    • D é 2\times6.
    • E é 1\times3.
  • O enunciado pede para analisar a expressão C + D^{t}:
    1. Verificar se a expressão está definida (isto é, se a soma de matrizes pode ser feita).
    2. Se estiver definida, determinar o tamanho (dimensão) da matriz resultante.

Passo 2

Relembrando a operação de transposição (conceito e regra de dimensões).
  • Definição intuitiva: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas.
  • Regra de dimensões: se uma matriz M tem tamanho m\times n, então sua transposta M^{t} tem tamanho n\times m.
  • Aplicando ao nosso caso: como D é 2\times6, então D^{t}\text{ tem tamanho }6\times2.

Passo 3

Relembrando a condição para somar matrizes (conceito e regra).
  • Regra de soma: duas matrizes X e Y podem ser somadas se e somente se tiverem exatamente o mesmo tamanho; a soma é feita entrada a entrada.
  • Ou seja, para poder calcular X+Y é necessário que X e Y sejam ambas m\times n para alguns m,n.

Passo 4

Aplicando as regras ao par C e D^{t}.
  • A matriz C tem tamanho 6\times2 (dado do enunciado).
  • Como vimos, D^{t} também tem tamanho 6\times2.
  • Como os tamanhos coincidem, a soma C + D^{t} está definida.
  • A soma é feita elemento a elemento; para cada índice válido i,j, (C+D^{t})_{ij} = C_{ij} + (D^{t})_{ij},e esses índices i vão de 1 a 6 e j vão de 1 a 2.

Passo 5

Conclusão prática e dica rápida para prova.
  • Conclusão: a expressão está definida e a matriz resultante tem as mesmas dimensões de C e D^{t}, ou seja, 6\times2.
  • Dica para a prova: ao ver somas com transpostas, sempre calcule primeiro as dimensões depois de transpor (aplica-se a regra m\times n \mapsto n\times m); se baterem, a soma é permitida.

Resposta

Sim; 6\times2

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