e pede a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} considerando as bases canônicas. Ou seja, é preciso escrever explicitamente como T_A age em um vetor genérico de \mathbb{R}^3 usando a multiplicação matricial padrão.
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz de 2\times3, portanto T_A leva vetores de \mathbb{R}^3 em vetores de \mathbb{R}^2.
Trabalhamos com as bases canônicas (vetores coluna padrão) em domínio e contradomínio.
Passo 2
Definição e notação: para a base canônica, a transformação linear associada à matriz A age por multiplicação de matriz por vetor. Se \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 é o vetor genérico escrito como
Vou explicar como fazer essa multiplicação: cada componente de A\mathbf{x} é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{x}.]
Passo 3
Multiplicação passo a passo: multiplicando A por \mathbf{x} obtemos um vetor em \mathbb{R}^2 cujas componentes são as somas dos produtos dos elementos da linha de A pelos componentes de \mathbf{x}. Ou seja,
Interpretação com as colunas de A: cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^3. Denotando os vetores da base canônica por
para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores \mathbf{u},\mathbf{v}. Na prática de prova, quando pedirem "determine T_A" basta dar a expressão T_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x} ou escrever a fórmula componente a componente, como fizemos.
Passo 6
Exemplo numérico para checar a fórmula (isso ajuda a confiar no resultado): para \mathbf{x}=(1,2,3)^T,