Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 5 & 1 & 2 \\\\ 3 & -1 & 5 \end{array}\right)
Determine a transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} considerando as bases canônicas.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\\\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}
e pede a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} considerando as bases canônicas. Ou seja, é preciso escrever explicitamente como T_A age em um vetor genérico de \mathbb{R}^3 usando a multiplicação matricial padrão.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz de 2\times3, portanto T_A leva vetores de \mathbb{R}^3 em vetores de \mathbb{R}^2.
  • Trabalhamos com as bases canônicas (vetores coluna padrão) em domínio e contradomínio.

Passo 2

Definição e notação: para a base canônica, a transformação linear associada à matriz A age por multiplicação de matriz por vetor. Se \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 é o vetor genérico escrito como
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix},
então por definição
T_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.
Vou explicar como fazer essa multiplicação: cada componente de A\mathbf{x} é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{x}.]

Passo 3

Multiplicação passo a passo: multiplicando A por \mathbf{x} obtemos um vetor em \mathbb{R}^2 cujas componentes são as somas dos produtos dos elementos da linha de A pelos componentes de \mathbf{x}. Ou seja,
A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\\\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x_1 + 1x_2 + 2x_3\\[6pt] 3x_1 + (-1)x_2 + 5x_3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação com as colunas de A: cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^3. Denotando os vetores da base canônica por
e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
temos
T_A(e_1)=\begin{pmatrix}5\\[2pt]3\end{pmatrix},\quad T_A(e_2)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad T_A(e_3)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]5\end{pmatrix},
porque essas são as colunas de A. Assim
T_A(x_1,x_2,x_3)=x_1T_A(e_1)+x_2T_A(e_2)+x_3T_A(e_3),
o que coincide com a fórmula obtida pela multiplicação.]

Passo 5

Propriedade de linearidade (explicação didática): a transformação T_A é linear, isto é, satisfaz
T_A(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v})=\alpha T_A(\mathbf{u})+\beta T_A(\mathbf{v})
para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores \mathbf{u},\mathbf{v}. Na prática de prova, quando pedirem "determine T_A" basta dar a expressão T_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x} ou escrever a fórmula componente a componente, como fizemos.

Passo 6

Exemplo numérico para checar a fórmula (isso ajuda a confiar no resultado): para \mathbf{x}=(1,2,3)^T,
T_A(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}5\cdot1+1\cdot2+2\cdot3\\[4pt]3\cdot1-1\cdot2+5\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13\\[2pt]16\end{pmatrix}.
Isso confirma que a regra geral funciona aplicando-se números concretos.]

Resposta

T_A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T_A\!\left(\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}5x_1+1x_2+2x_3\\[6pt]3x_1-1x_2+5x_3\end{pmatrix}]

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