Prove que para todo x \in[0,2 \pi] e x \notin\left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right\}, valem as relações:
(\operatorname{sen} \mathrm{x})(\operatorname{sen} \mathrm{x})=(\operatorname{tg} \mathrm{x})(\operatorname{tg} \mathrm{x}) /\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mathrm{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá que x\in[0,2\pi] e que x\notin\left\{0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right\}.
Pede-se provar a igualdade
\sin^2 x=\frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}.
As informações relevantes fornecidas são:
  • o valor de x está no intervalo [0,2\pi];
  • alguns pontos estão excluídos (entre eles estão os pontos onde \tan x é indefinida, por exemplo \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2});
  • deve-se mostrar a igualdade trigonométrica indicada.

Passo 2

Lembrando a definição de \tan x em termos de \sin x e \cos x: sempre que \cos x\neq0 (ou seja, onde \tan x está definida),
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aqui:
  • \sin x é a função seno avaliada em x;
  • \cos x é a função cosseno avaliada em x;
  • \tan x é a função tangente avaliada em x.
    A hipótese x\notin\left\{\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right\} garante \cos x\neq0, então podemos usar essa definição sem problemas.

Passo 3

Elevar a identidade da tangente ao quadrado dá
\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.
Isto é apenas aplicar a operação “elevar ao quadrado” termo a termo na relação \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Usar a identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
\sin^2 x+\cos^2 x=1.
Como \cos^2 x\neq0 no domínio considerado, dividindo ambos os lados por \cos^2 x obtemos
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1=\frac{1}{\cos^2 x}.
Pelo passo anterior \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tan^2 x, portanto
\tan^2 x+1=\frac{1}{\cos^2 x},
ou seja
1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.

Passo 5

Agora calculamos a expressão à direita da igualdade que queremos provar:
\frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x} =\frac{\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\dfrac{1}{\cos^2 x}}
Aqui foi substituído \tan^2 x por \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} e 1+\tan^2 x por \dfrac{1}{\cos^2 x}. Simplificando a fração complexa (dividir por \tfrac{1}{\cos^2 x} é o mesmo que multiplicar por \cos^2 x), obtemos
\frac{\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} =\sin^2 x.

Passo 6

Portanto, para todo x do domínio indicado (onde \cos x\neq0 e \tan x está definido), vale
\sin^2 x=\frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}.
Pequeno comentário de incentivo: deu trabalho só de escrever, mas a ideia é simples — usar \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a identidade pitagórica. Se quiser, testamos com um exemplo numérico (por exemplo x=\tfrac{\pi}{4}) para ver na prática que os dois lados coincidem.

Resposta

\sin^2 x=\dfrac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}

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