Prove que para todo
e
, valem as relações:
Passo 1
O enunciado dá que
e que
.
Pede-se provar a igualdade
Pede-se provar a igualdade
As informações relevantes fornecidas são:
- o valor de
está no intervalo ; - alguns pontos estão excluídos (entre eles estão os pontos onde
é indefinida, por exemplo e ); - deve-se mostrar a igualdade trigonométrica indicada.
Passo 2
Lembrando a definição de
em termos de
e
: sempre que
(ou seja, onde
está definida),
Aqui:
-
é a função seno avaliada em ; -
é a função cosseno avaliada em ; -
é a função tangente avaliada em .
A hipótesegarante , então podemos usar essa definição sem problemas.
Passo 3
Elevar a identidade da tangente ao quadrado dá
Isto é apenas aplicar a operação “elevar ao quadrado” termo a termo na relação
.
Passo 4
Usar a identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
Como
no domínio considerado, dividindo ambos os lados por
obtemos
Pelo passo anterior
, portanto
ou seja
Passo 5
Agora calculamos a expressão à direita da igualdade que queremos provar:
Aqui foi substituído
por
e
por
. Simplificando a fração complexa (dividir por
é o mesmo que multiplicar por
), obtemos
Passo 6
Portanto, para todo
do domínio indicado (onde
e
está definido), vale
Pequeno comentário de incentivo: deu trabalho só de escrever, mas a ideia é simples — usar
e a identidade pitagórica. Se quiser, testamos com um exemplo numérico (por exemplo
) para ver na prática que os dois lados coincidem.