Dado que \operatorname{sen} x \cdot \cos x=m, calcule o valor de y=\operatorname{sen}^{4} x+\cos ^{4} x e
z=\operatorname{sen}^{6} x+\cos ^{6} x

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
  • Dado: \operatorname{sen} x \cdot \cos x = m.
  • Precisamos calcular:
    • y = \operatorname{sen}^{4} x + \cos^{4} x.
    • z = \operatorname{sen}^{6} x + \cos^{6} x.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição que facilita as contas e que é muito comum nessas questões: defino
s=\operatorname{sen}^{2}x,\qquad c=\cos^{2}x.
Isso é útil porque y e z ficam expressos em termos de s e c:
y = s^{2}+c^{2},\qquad z = s^{3}+c^{3}.
Também usamos a identidade trigonométrica fundamental (Pitagórica):
\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1,
logo, em termos de s e c,
s+c=1.

Passo 3

Agora expressamos o produto s c usando a informação dada no enunciado. Como s=\operatorname{sen}^{2}x e c=\cos^{2}x, tem-se
s c = (\operatorname{sen}^{2}x)(\cos^{2}x)=(\operatorname{sen}x\cos x)^{2}.
Pelo enunciado \operatorname{sen}x\cos x=m, então
s c = m^{2}.

Passo 4

Calcular y=s^{2}+c^{2}. Use a identidade algébrica que relaciona soma de quadrados com quadrado da soma:
s^{2}+c^{2}=(s+c)^{2}-2s c.
Substituindo s+c=1 e s c=m^{2},
y = (1)^{2}-2m^{2}=1-2m^{2}.
Comentário pedagógico: essa fórmula vem de expandir (s+c)^{2}=s^{2}+2sc+c^{2} e isolar s^{2}+c^{2}.

Passo 5

Calcular z=s^{3}+c^{3}. Use a identidade para soma de cubos expressa pelo cubo da soma:
s^{3}+c^{3}=(s+c)^{3}-3s c(s+c).
(Justificativa rápida: expandindo (s+c)^{3}=s^{3}+3s^{2}c+3sc^{2}+c^{3}=s^{3}+c^{3}+3sc(s+c).)
Agora substituimos s+c=1 e s c=m^{2}:
z = (1)^{3}-3m^{2}\cdot 1 = 1-3m^{2}.

Passo 6

Resumo final: expressamos y e z apenas em função de m. Estes são resultados diretos das identidades algébricas aplicadas às potências de \operatorname{sen}x e \cos x.

Resposta

y = 1-2m^{2}
z = 1-3m^{2}

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