Dado que
, calcule o valor de
e
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
- Dado:
. - Precisamos calcular:
-
. -
.
-
Passo 2
Vamos fazer uma substituição que facilita as contas e que é muito comum nessas questões: defino
Isso é útil porque
e
ficam expressos em termos de
e
:
Também usamos a identidade trigonométrica fundamental (Pitagórica):
logo, em termos de
e
,
Passo 3
Agora expressamos o produto
usando a informação dada no enunciado. Como
e
, tem-se
Pelo enunciado
, então
Passo 4
Calcular
. Use a identidade algébrica que relaciona soma de quadrados com quadrado da soma:
Substituindo
e
,
Comentário pedagógico: essa fórmula vem de expandir
e isolar
.
Passo 5
Calcular
. Use a identidade para soma de cubos expressa pelo cubo da soma:
(Justificativa rápida: expandindo
.)
Agora substituimos e
:
Agora substituimos
Passo 6
Resumo final: expressamos
e
apenas em função de
. Estes são resultados diretos das identidades algébricas aplicadas às potências de
e
.