(3,0) Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{array}\right)
onde a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot a_{44} \neq 0.
(a) Calcule a matriz dos cofatores de A;
(b) Calcule \operatorname{det}(\mathrm{A});
(c) A matriz A é inversível? Em caso afirmativo, determine A^{-1}, a inversa de A.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz diagonal de ordem 4,
A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{pmatrix},
com a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\neq0. Pede-se: (a) a matriz de cofatores de A; (b) o determinante de A; (c) verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, achar A^{-1}. Vamos usar definição de menor e cofator, a teoria de determinantes e a fórmula A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A).

Passo 2

Para construir a matriz de cofatores \mathrm{Cof}(A) = (C_{ij}) usamos
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j.
– Se i\neq j, a submatriz contém uma linha (ou coluna) toda de zeros, logo M_{ij}=0 e C_{ij}=0.
– Se i=j, a submatriz é diagonal com entradas \{a_{kk}:k\neq i\}, então
M_{ii} = \prod_{k\neq i}a_{kk}, \quad C_{ii} = (-1)^{2i}\prod_{k\neq i}a_{kk} = \prod_{k\neq i}a_{kk}.
Portanto
\mathrm{Cof}(A) = \begin{pmatrix} a_{22}a_{33}a_{44} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{11}a_{33}a_{44} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{44} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{33} \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o determinante, usemos expansão pela primeira linha:
\det(A) = a_{11}C_{11} + 0 + 0 + 0 = a_{11}\,(a_{22}a_{33}a_{44}) = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}.

Passo 4

Como \det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\neq0, A é inversível. A inversa vem de
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}}\bigl(\mathrm{Cof}(A)\bigr)^{T}.
Como \mathrm{Cof}(A) é diagonal, sua transposta é ela mesma, então
A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}} \begin{pmatrix} a_{22}a_{33}a_{44} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{11}a_{33}a_{44} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{44} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_{11}} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{a_{22}} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_{33}} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{a_{44}} \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
\mathrm{Cof}(A) = \begin{pmatrix} a_{22}a_{33}a_{44} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_{11}a_{33}a_{44} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{44} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & a_{11}a_{22}a_{33} \end{pmatrix}.
(b) \det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}.
(c) Sim, pois \det(A)\neq0;
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a_{11} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1/a_{22} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1/a_{33} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1/a_{44} \end{pmatrix}.

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