onde a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot a_{44} \neq 0.
(a) Calcule a matriz dos cofatores de A;
(b) Calcule \operatorname{det}(\mathrm{A});
(c) A matriz A é inversível? Em caso afirmativo, determine A^{-1}, a inversa de A.
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz diagonal de ordem 4,
com a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\neq0. Pede-se: (a) a matriz de cofatores de A; (b) o determinante de A; (c) verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, achar A^{-1}. Vamos usar definição de menor e cofator, a teoria de determinantes e a fórmula A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A).
Passo 2
Para construir a matriz de cofatores \mathrm{Cof}(A) = (C_{ij}) usamos
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j.
– Se i\neq j, a submatriz contém uma linha (ou coluna) toda de zeros, logo M_{ij}=0 e C_{ij}=0.
– Se i=j, a submatriz é diagonal com entradas \{a_{kk}:k\neq i\}, então