Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y \mathbf{i}-x^{2} z \mathbf{j}+z^{2} y \mathbf{k},
é a superfície da caixa retangular limitada pelos planos
e
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y \mathbf{i}-x^{2} z \mathbf{j}+z^{2} y \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
da caixa retangular delimitada por
Como
é o contorno de um domínio sólido
, vamos usar o Teorema do Divergente que diz
Passo 2
Calculamos primeiro a divergência de
:
Como
,
e
, segue
Passo 3
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo é
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então o integrando torna-se
e
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.