Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y \mathbf{i}-x^{2} z \mathbf{j}+z^{2} y \mathbf{k},
S é a superfície da caixa retangular limitada pelos planos x=0, x=3, y=0, y=2, z=0 e z=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície S da caixa retangular delimitada por
0 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 1.
Como S é o contorno de um domínio sólido V, vamos usar o Teorema do Divergente que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=x^2y\,\mathbf{i}-x^2z\,\mathbf{j}+z^2y\,\mathbf{k}:
\mathrm{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(-x^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2y).
Como \frac{\partial}{\partial x}(x^2y)=2xy, \frac{\partial}{\partial y}(-x^2z)=0 e \frac{\partial}{\partial z}(z^2y)=2zy, segue
\mathrm{div}\,\mathbf{F}=2xy+2zy=2y(x+z).

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}2y(x+z)\,dV = \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}2y\,(x+z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{1}(x+z)\,dz = x+\frac{1}{2}.
Então o integrando torna-se 2y(x+\tfrac12)=2xy+y e
\int_{0}^{2}(2xy+y)\,dy = (2x+1)\int_{0}^{2}y\,dy = (2x+1)\cdot2 = 4x+2.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{3}(4x+2)\,dx = \bigl[2x^2+2x\bigr]_{0}^{3} = 2\cdot9+2\cdot3 = 18+6 = 24.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 24.

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