Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=-x z \mathbf{i}-y z \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k},
S é o elipsoide x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo \mathbf{F}(x,y,z) = -x z\,\mathbf{i} - y z\,\mathbf{j} + z^{2}\,\mathbf{k} através da superfície fechada S do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.
Como S é uma superfície fechada e suave, podemos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss) que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}\bigl(\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\bigr)\,dV,
onde V é o volume interno ao elipsoide.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} = \frac{\partial(-x z)}{\partial x} + \frac{\partial(-y z)}{\partial y} + \frac{\partial(z^{2})}{\partial z}.
Como \frac{\partial(-x z)}{\partial x} = -z, \frac{\partial(-y z)}{\partial y} = -z e \frac{\partial(z^{2})}{\partial z}=2z, resulta
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} = -\,z \;-\;z \;+\;2\,z = 0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}0\,dV = 0.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 0.

Exercícios relacionados