Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta em qualquer um dos casos.
(a) ( ) Sejam
e
duas matrizes quaisquer. Então
é uma matriz de ordem
;
(b) ( ) Sejam
e
duas matrizes quaisquer. Então
é uma matriz de ordem
;
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial;
(d) ( ) Se uma matriz quadrada A possui uma linha constituída apenas de zeros, então seu determinante é nulo.
(e) ( ) O determinante de uma matriz quadrada de ordem n qualquer pode ser calculado multiplicandose os elementos da diagonal principal e subtraindo o resultados do produto dos elementos da diagonal secundária.
(a) ( ) Sejam
(b) ( ) Sejam
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial;
(d) ( ) Se uma matriz quadrada A possui uma linha constituída apenas de zeros, então seu determinante é nulo.
(e) ( ) O determinante de uma matriz quadrada de ordem n qualquer pode ser calculado multiplicandose os elementos da diagonal principal e subtraindo o resultados do produto dos elementos da diagonal secundária.
Passo 1
O enunciado nos pede para cada afirmação (a)–(e) decidir se é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar as regras de dimensão para soma e produto de matrizes, propriedades de sistemas lineares homogêneos e propriedades de determinante em matrizes quadradas.
Passo 2
(a) Para somar duas matrizes
e
é preciso que elas tenham exatamente a mesma ordem. Aqui temos
de ordem
e
de ordem
. Como
, a soma
sequer está definida, muito menos resulta numa
. Logo, a afirmação é às vezes falsa (na verdade ela é impossível de realizar).
Passo 3
(b) O produto
está definido sempre que o número de colunas de
coincide com o número de linhas de
. Como
é
e
é
, o produto existe e sua ordem é dada por
, ou seja,
. Portanto essa afirmação é sempre verdadeira.
Passo 4
(c) Um sistema linear homogêneo tem sempre a forma
. Substituindo
(o vetor nulo), temos
, então pelo menos essa solução existe. Logo, todo sistema homogêneo admite sempre a solução trivial e a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) Uma propriedade básica do determinante é que se uma linha (ou coluna) inteira de uma matriz quadrada é zero, então o determinante vale zero. Intuitivamente, linhas linearmente dependentes geram determinante nulo. Assim, essa afirmação é sempre verdadeira.
Passo 6
(e) A regra de multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto da diagonal secundária vale somente para matrizes de ordem
. Para
o determinante envolve somas de vários produtos de
elementos com sinais alternados (teorema de Laplace, permutações, etc.). Logo, dizer que esse método funciona para qualquer ordem
é falso.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa