(2,5) Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta em qualquer um dos casos.
(a) ( ) Sejam A_{2 \times 3} e B_{3 \times 4} duas matrizes quaisquer. Então A+B é uma matriz de ordem 3 \times 4;
(b) ( ) Sejam A_{2 \times 3} e B_{3 \times 4} duas matrizes quaisquer. Então A \cdot B é uma matriz de ordem 2 \times 4;
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial;
(d) ( ) Se uma matriz quadrada A possui uma linha constituída apenas de zeros, então seu determinante é nulo.
(e) ( ) O determinante de uma matriz quadrada de ordem n qualquer pode ser calculado multiplicandose os elementos da diagonal principal e subtraindo o resultados do produto dos elementos da diagonal secundária.

Passo 1

O enunciado nos pede para cada afirmação (a)–(e) decidir se é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Vamos usar as regras de dimensão para soma e produto de matrizes, propriedades de sistemas lineares homogêneos e propriedades de determinante em matrizes quadradas.

Passo 2

(a) Para somar duas matrizes A e B é preciso que elas tenham exatamente a mesma ordem. Aqui temos A de ordem 2\times3 e B de ordem 3\times4. Como \,(2,3)\neq(3,4), a soma A+B sequer está definida, muito menos resulta numa 3\times4. Logo, a afirmação é às vezes falsa (na verdade ela é impossível de realizar).

Passo 3

(b) O produto A\cdot B está definido sempre que o número de colunas de A coincide com o número de linhas de B. Como A é 2\times3 e B é 3\times4, o produto existe e sua ordem é dada por (\text{linhas de }A)\times(\text{colunas de }B), ou seja, 2\times4. Portanto essa afirmação é sempre verdadeira.

Passo 4

(c) Um sistema linear homogêneo tem sempre a forma Ax=0. Substituindo x=0 (o vetor nulo), temos A\cdot0=0, então pelo menos essa solução existe. Logo, todo sistema homogêneo admite sempre a solução trivial e a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) Uma propriedade básica do determinante é que se uma linha (ou coluna) inteira de uma matriz quadrada é zero, então o determinante vale zero. Intuitivamente, linhas linearmente dependentes geram determinante nulo. Assim, essa afirmação é sempre verdadeira.

Passo 6

(e) A regra de multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto da diagonal secundária vale somente para matrizes de ordem 2. Para n>2 o determinante envolve somas de vários produtos de n elementos com sinais alternados (teorema de Laplace, permutações, etc.). Logo, dizer que esse método funciona para qualquer ordem n é falso.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa

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