( 2,5 ) Considere os planos \pi_{1}: 2 x-4 y+3 z=0 e \pi_{2}: x+y-z=0. Determine, se houver, a intersecção destes objetos, descrevendo sua equação na forma paramétrica.

Passo 1

O enunciado pede a intersecção dos planos
\pi_{1}:2x-4y+3z=0
e
\pi_{2}:x+y-z=0
em \mathbb{R}^3. Sabemos que a intersecção de dois planos (não paralelos) é uma reta. Vamos resolver o sistema formado pelas duas equações e escrever a reta na forma paramétrica.

Passo 2

Da segunda equação temos
x+y-z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=x+y.
Substituindo em \pi_{1}:
2x-4y+3(x+y)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-4y+3x+3y=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x - y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=5x.
E então
z=x+y = x+5x = 6x.

Passo 3

Como sobra um grau de liberdade, tomamos x=t. Assim
y=5t, \quad z=6t,
e a reta interseção fica
(x,y,z) = (t,5t,6t), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A interseção é a reta
\{(x,y,z) = t\,(1,5,6)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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