Considere o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+2 y+2 z & =6 \\\\ 3 x+3 y+3 z & =12 \end{aligned}\right.
(a) Determine as matrizes dos coeficientes A e a matriz ampliada [A \mid b].
(b) Calcule o rank da matriz dos coeficientes A e da matriz ampliada [A \mid b].
(c) Determine se o sistema é compatível ou incompatível. Em outras palavras, se o sistema é SI, SPI ou SPD.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 4,\\\\ 2x + 2y + 2z = 6,\\\\ 3x + 3y + 3z = 12, \end{cases}
e pede (a) as matrizes A e [A\mid b], (b) os seus ranks e (c) a classificação do sistema (SI, SPI ou SPD).

Passo 2

A matriz dos coeficientes A é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}
e a matriz ampliada [A\mid b] é
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 4\\\\ 2 & 2 & 2 & 6\\\\ 3 & 3 & 3 & 12 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \rank(A), observamos que a segunda linha é 2 vezes a primeira e a terceira é 3 vezes a primeira. Logo todas as linhas são proporcionais, sobrando apenas uma linha linearmente independente. Portanto
\rank(A)=1.

Passo 4

Para \rank([A\mid b]), note que a segunda linha (2,2,2,6) não é 2 vezes a primeira (1,1,1,4), pois 2\cdot4=8\neq6. Isso mostra que as duas primeiras linhas de [A\mid b] são linearmente independentes, mas a terceira é combinação das anteriores. Assim
\rank([A\mid b])=2.

Passo 5

Como \rank(A)=1 e \rank([A\mid b])=2, temos \rank(A)<\rank([A\mid b]). Pela teoria de sistemas lineares, isso implica que o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível (SI).

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