\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+2 y+2 z & =6 \\\\ 3 x+3 y+3 z & =12 \end{aligned}\right.
(a) Determine as matrizes dos coeficientes A e a matriz ampliada [A \mid b].
(b) Calcule o rank da matriz dos coeficientes A e da matriz ampliada [A \mid b].
(c) Determine se o sistema é compatível ou incompatível. Em outras palavras, se o sistema é SI, SPI ou SPD.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 4,\\\\ 2x + 2y + 2z = 6,\\\\ 3x + 3y + 3z = 12, \end{cases}
e pede (a) as matrizes A e [A\mid b], (b) os seus ranks e (c) a classificação do sistema (SI, SPI ou SPD).
Para calcular \rank(A), observamos que a segunda linha é 2 vezes a primeira e a terceira é 3 vezes a primeira. Logo todas as linhas são proporcionais, sobrando apenas uma linha linearmente independente. Portanto
\rank(A)=1.
Passo 4
Para \rank([A\mid b]), note que a segunda linha (2,2,2,6) não é 2 vezes a primeira (1,1,1,4), pois 2\cdot4=8\neq6. Isso mostra que as duas primeiras linhas de [A\mid b] são linearmente independentes, mas a terceira é combinação das anteriores. Assim
\rank([A\mid b])=2.
Passo 5
Como \rank(A)=1 e \rank([A\mid b])=2, temos \rank(A)<\rank([A\mid b]). Pela teoria de sistemas lineares, isso implica que o sistema é incompatível.