Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right).
(a) Determine uma base e a dimensão do espaço nulo de A.
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de A e encontre uma base de
(c) Se W é o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5} gerado pelos vetores (1,-1,-1,-1,-1),(0,1,2,3,4), \operatorname{Col}(A). (1,0,1,2,5) e (-1,1,1,1,3), determine uma base de W.

Passo 1

Temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 5\\\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},
que é uma matriz de ordem 4\times5.
(a) Queremos o espaço nulo \ker A\subseteq\mathbb{R}^5: resolver A x=0, encontrar uma base e a dimensão.
(b) A dependência linear entre colunas vem justamente dos vetores de coeficientes de \ker A; a dimensão da imagem (colunas) é \rank A, e uma base de \Image A são as colunas-pivô.
(c) Seja
W=\Span\bigl\{\,r_1,r_2,r_3,r_4\}\subseteq\mathbb{R}^5,
onde r_i são as quatro linhas de A. Isto é o espaço das linhas de A; para obter uma base de W usamos as linhas não nulas da forma escalonada por linhas.

Passo 2

Resolvendo A x=0\). Chamemos \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\). As quatro equações são \[\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 = 0,\\\ \phantom{x_1{}}+ x_2 +2x_3 +3x_4 +4x_5=0,\\\ x_1 \;+\; x_3 +2x_4 +5x_5=0,\\\\ -\,x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +3x_5=0. \end{cases}
Da primeira tiramos x_1 = x_2+x_3+x_4+x_5\]. Substituindo na terceira e comparando com a segunda obtém-se \(x_5=0. Então a segunda reduz a
x_2 +2x_3+3x_4=0,
de onde x_2=-2x_3-3x_4. Logo
x_1 =(-2x_3-3x_4)+x_3+x_4=-\,x_3-2x_4,\quad x_5=0.
Tomando x_3=s, x_4=t livres,
x = s\,(-1,-2,1,0,0)+t\,(-2,-3,0,1,0).
Portanto
\ker A=\Span\{(-1,-2,1,0,0),\;(-2,-3,0,1,0)\},
e \dim\ker A=2.

Passo 3

Cada vetor x\in\ker A dá uma relação
\sum_{j=1}^5 x_j\,c_j=0, onde c_j é a j-ésima coluna de A. Das duas bases de \ker A vemos as duas relações independentes
-1\cdot c_1-2\cdot c_2+1\cdot c_3 =0, \qquad -2\cdot c_1-3\cdot c_2+1\cdot c_4 =0,
portanto
c_3=c_1+2c_2, \quad c_4=2c_1+3c_2, \quad c_5\text{ não aparece, é livre.}ãé
Como há 5 colunas e \dim\ker A=2, então \rank A=5-2=3. As colunas-pivô são c_1,c_2,c_5, e assim
\Image A = \Span\{\,c_1,c_2,c_5\}.

Passo 4

Para achar uma base de
W=\Span\{r_1,r_2,r_3,r_4\}
(com r_i as linhas de A), fazemos o escalonamento por linhas de A. A forma reduzida por linhas é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As três linhas não nulas formam uma base do espaço das linhas. Logo
W=\Span\{(1,0,1,2,0),\;(0,1,2,3,0),\;(0,0,0,0,1)\},
e \dim W=3.

Resposta

(a) \dim\ker A=2,
\ker A=\Span\{(-1,-2,1,0,0),\;(-2,-3,0,1,0)\}.
(b) As dependências são
c_3=c_1+2c_2, \quad c_4=2c_1+3c_2,
\rank A=3, base de \Image A é \{c_1,c_2,c_5\}.
(c) Uma base de W (espaço das linhas) é
\{(1,0,1,2,0),\;(0,1,2,3,0),\;(0,0,0,0,1)\}.

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