Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right).
(a) Determine uma base e a dimensão do espaço nulo de A.
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de A e encontre uma base de
(c) Se W é o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5} gerado pelos vetores (1,-1,-1,-1,-1),(0,1,2,3,4), \operatorname{Col}(A). (1,0,1,2,5) e (-1,1,1,1,3), determine uma base de W.
que é uma matriz de ordem 4\times5.
(a) Queremos o espaço nulo \ker A\subseteq\mathbb{R}^5: resolver A x=0, encontrar uma base e a dimensão.
(b) A dependência linear entre colunas vem justamente dos vetores de coeficientes de \ker A; a dimensão da imagem (colunas) é \rank A, e uma base de \Image A são as colunas-pivô.
(c) Seja
onde r_i são as quatro linhas de A. Isto é o espaço das linhas de A; para obter uma base de W usamos as linhas não nulas da forma escalonada por linhas.
Passo 2
Resolvendo A x=0\). Chamemos \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\). As quatro equações são
\[\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 = 0,\\\ \phantom{x_1{}}+ x_2 +2x_3 +3x_4 +4x_5=0,\\\ x_1 \;+\; x_3 +2x_4 +5x_5=0,\\\\ -\,x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +3x_5=0. \end{cases}
Da primeira tiramos x_1 = x_2+x_3+x_4+x_5\]. Substituindo na terceira e comparando com a segunda obtém-se \(x_5=0. Então a segunda reduz a
Cada vetor x\in\ker A dá uma relação \sum_{j=1}^5 x_j\,c_j=0, onde c_j é a j-ésima coluna de A. Das duas bases de \ker A vemos as duas relações independentes