Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um
Se {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é base de um espaço vetorial U, então {\vec{u}+2 \vec{v}-\vec{w}, \vec{u}-\vec{v}+\vec{w}, \vec{u}-\vec{w}}) também é base de U.
Passo 1
O enunciado diz que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de um espaço vetorial U de dimensão 3 e pede para verificar se o conjunto
também é base de U. Vamos usar o fato de que um conjunto de três vetores em U é base se, e somente se, for linearmente independente (ou, equivalentemente, a matriz de passagem for invertível).
Passo 2
Para testar a independência linear, expressamos cada vetor novo em coordenadas na base \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}. Especificamente:
Como \det(M)\neq0, a transformação linear que leva (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) em (\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w},\;\vec{u}-\vec{v}+\vec{w},\;\vec{u}-\vec{w}) é invertível. Logo, esses três vetores são linearmente independentes e, por terem o mesmo número de elementos da dimensão de U, formam base de U.