Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um
Se {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é base de um espaço vetorial U, então {\vec{u}+2 \vec{v}-\vec{w}, \vec{u}-\vec{v}+\vec{w}, \vec{u}-\vec{w}}) também é base de U.

Passo 1

O enunciado diz que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de um espaço vetorial U de dimensão 3 e pede para verificar se o conjunto
\{\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w},\;\vec{u}-\vec{v}+\vec{w},\;\vec{u}-\vec{w}\}
também é base de U. Vamos usar o fato de que um conjunto de três vetores em U é base se, e somente se, for linearmente independente (ou, equivalentemente, a matriz de passagem for invertível).

Passo 2

Para testar a independência linear, expressamos cada vetor novo em coordenadas na base \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}. Especificamente:
\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\quad \vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \vec{u}-\vec{w}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Essas colunas formam a matriz de mudança de base M.

Passo 3

Montamos a matriz M cujas colunas são as coordenadas acima:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o determinante de M:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ -1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}
=1\bigl((-1)(-1)-0\cdot1\bigr) -1\bigl(2(-1)-0\cdot(-1)\bigr) +1\bigl(2\cdot1-(-1)\cdot(-1)\bigr)
=1\cdot1 -1\cdot(-2)+1\cdot1 =1+2+1 =4\neq0.

Passo 5

Como \det(M)\neq0, a transformação linear que leva (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) em (\vec{u}+2\vec{v}-\vec{w},\;\vec{u}-\vec{v}+\vec{w},\;\vec{u}-\vec{w}) é invertível. Logo, esses três vetores são linearmente independentes e, por terem o mesmo número de elementos da dimensão de U, formam base de U.

Resposta

Verdadeira.

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